Análisis de un circuito con transformador, componentes R y C

Si bien estoy de acuerdo con Chu en que puedes ahorrarte algo de dolor al usar la transformación de Phasors / Fourier, es posible resolver estas ecuaciones.

$$ \ begin {align} & v_x) \ quad & \ frac {v_s-v_x} {1} + \ frac {v_1-v_x} {2} + \ frac {1} {3} \ frac {d (v-v_x)} {dt } & = 0 \\ & v_1) \ quad & \ frac {v_x - v_1} {2} - i_1 & = 0 \\ & v) \ quad & \ frac {1} {3} \ frac {d (v_x-v)} {dt} + i_2 - \ frac {v} {5} & = 0 \\ & tf) \ quad & v & = 4v_1 \\ &erio; &erio; i_1 & = 4i_2 \ end {align} $$

Puedes eliminar \ $ \ frac {1} {3} \ frac {d (v-v_x)} {dt} \ $ usando la tercera ecuación al sustituirla en la primera ecuación.

$$ \ frac {1} {3} \ frac {d (v-v_x)} {dt} = i_2 - \ frac {v} {5} $$

Luego puedes resolver todas las ecuaciones, pero la tercera para todas las incógnitas excepto \ $ v \ $ para encontrar eso (utilicé un CAS como Maxima para resolverlo)

$$ \ begin {align} i_1 & = \ frac {20v_s-9v} {55} \\ i_2 & = \ frac {20v_s-9v} {220} \\ v_1 & = \ frac {v} {4} \\ v_x & = \ frac {160v_s - 17v} {220} \ end {align} $$

que nos permite conectar \ $ i_2 \ $ y \ $ v_x \ $ de nuevo en:

$$ \ begin {align} \ frac {1} {3} \ frac {d (v-v_x)} {dt} & = i_2 - \ frac {v} {5} \\ & \ Downarrow \\ 79 \ frac {dv} {dt} + 53v & = 80 \ cos (3t) - 640 \ sin (3t) \ end {align} $$

La solución homogénea no es importante, ya que solo estamos interesados en la solución de estado estable. La solución particular está dada por

$$ \ begin {align} v (t) & = \ frac {77960} {29489} \ cos (3t) - \ frac {7480} {29489} \ sin (3t) \\ & = 2.656 \ cos (3t + 5.48 ^ \ circ) \ end {align} $$

Ahora, no estoy seguro de cómo obtendría la respuesta de referencia de su libro. Cuando verifiqué el uso de LTSpice, parecía admitir esta respuesta en lugar de la de tu libro.

Parece que estás haciendo un análisis transitorio; Este problema requiere una notación compleja. Represente la reactancia del capacitor como: \ $ \ small -j \: X_C = - \ large \ frac {j} {\ omega C} \ small = -j \ $, deje que el voltaje de la fuente sea: \ $ \ small V_S = 4 + j0 = 4 \ $, y luego use el análisis nodal.

Calculé v usando el análisis de fasor usando el parámetro y. Por favor, ayúdenme a escribir la representación en el dominio de tiempo de v.