En el análisis de CA, \ $ s = j \ omega \ $ cuando tratamos con \ $ sL \ $ o \ $ 1 / sC \ $. Pero para una transformada de Laplace, \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $.
Lo siento por ser ambiguo, pero me gustaría conectar las siguientes preguntas:
Por supuesto, \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $, por definición. Lo que está sucediendo es que \ $ \ sigma \ $ se está ignorando porque se supone que es cero. La razón de ello es que estamos viendo la respuesta del sistema a señales sinusoidales periódicas (y por lo tanto no decadentes), por lo que Laplace se reduce convenientemente a Fourier a lo largo del eje imaginario. El eje real en el dominio de Laplace representa factores de decrecimiento / crecimiento exponenciales que las señales puras no tienen, y que Fourier no modela.
Para el análisis de CA, se supone que el circuito tiene fuentes sinusoidales (con la misma frecuencia angular \ $ \ omega \ $) y que todos los transitorios han decaído. Esta condición se conoce como estado estacionario sinusoidal o estado estacionario de CA .
Esto permite analizar el circuito en el phasor domain .
Al utilizar fórmula de Euler tenemos:
\ $ v_A (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) = \ Re (Ae ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t}) \ $
El fasor asociado con \ $ v (t) \ $ es entonces \ $ \ vec V_a = Ae ^ {j \ phi} \ $ que es solo una constante compleja que contiene la información de magnitud y fase de la señal del dominio del tiempo .
De ello se deduce que, en estas condiciones, podemos analizar el circuito siguiendo los voltajes y corrientes de phasor y utilizando las siguientes relaciones:
\ $ \ dfrac {\ vec V_l} {\ vec I_l} = j \ omega L \ $
\ $ \ dfrac {\ vec V_c} {\ vec I_c} = \ dfrac {1} {j \ omega C} \ $
\ $ \ dfrac {\ vec V_r} {\ vec I_r} = R \ $
Luego recuperamos la solución de dominio de tiempo a través de la fórmula de Euler.
Ahora, hay una conexión profunda entre el análisis de fasores y el análisis de Laplace, pero es importante tener en cuenta el contexto completo del análisis de CA que es, nuevamente:
(1) el circuito tiene fuentes sinusoidales (con la misma frecuencia \ $ \ omega \ $)
(2) todos los transitorios han decaído
La razón por la que \ $ S = j \ omega \ $ se elige para evaluar las señales de CA es que permite convertir la transformada de Laplace en la transformada de Fourier.
La razón es que si bien S es una variable compleja, lo que se usa en la representación de Fourier es solo el componente rotativo (imaginario), por lo tanto, \ $ \ sigma = 0 \ $.
Puede encontrar más información en esta página de Stanford .
El análisis de la función de transferencia de transformada de Laplace (TF) da la respuesta completa a una señal de entrada sinusoidal de t = 0. La solución generalmente contiene términos transitorios, que decaen a cero de manera exponencial, y los términos de estado estacionario que permanecen después de que los exponenciales hayan desaparecido. Cuando tenemos los polos y ceros de un TF, por ejemplo, s = -a + jw, la parte '-a' da la respuesta exponencial (e ^ -at), y la parte jw da la respuesta sinusoidal de estado estable: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Si solo estamos interesados en la parte de estado estable de la respuesta (como es el caso en el análisis de respuesta de frecuencia), entonces podemos usar la sustitución s = jw en el TF.
Tenga en cuenta que e ^ jx = cos (x) + jsin (x) es la "Identidad de Euler" y es una de las relaciones más importantes y útiles en ciencia e ingeniería.
Esto solo se usa para "Sin" y "Cos", que es el caso de la señal de CA. Nota: La trasformación del lugar de pecado (at) o cos (at) "1 / jw + a" o "jw / jw + a" que Esto se puede probar usando la identidad del pecado y cos usando la identidad de Euler, que es básicamente 2 exponenciales, y el lugar de la exponencial tiene solo la parte imaginaria "jw".
Escribiré la prueba y la publicaré aquí. :)
Si observa la fórmula de la transformada de Fourier y Laplace, verá que 's' es la transformada de Laplace que se reemplaza por 'jw' en la transformada de Fourier. Es por eso que puede obtener la transformada de Fourier de la transformada de Laplace reemplazando 's' con 'jw'.
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