Para una mejor detección de la señal modulada con el siguiente detector de diodo, un requisito es que la constante de tiempo del filtro RC se ajuste a:
$$ \ frac {1} {\ omega_ {c}} \ leq RC \ leq \ frac {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} {\ omega_ {m} \ mu} $$
donde:
¿Cómo podemos probar eso exactamente?
La fórmula se deriva de experiencias prácticas y no de principios matemáticos. No es demostrable más que ser práctico y pensar lo que tiene que lograr un detector de diodo.
En primer lugar, la fórmula indica que RC debe ser igual o mayor que \ $ \ dfrac {1} {\ omega_c} \ $.
Si la constante de tiempo de RC fuera demasiado corta, habría niveles significativos (ondulación) de la frecuencia portadora en la salida; esto no es lo que se desea de un detector de diodos (o un rectificador de CA en una fuente de alimentación) PERO, es nunca va a ser un filtro de pared de ladrillo perfecto, por lo que la ondulación del portador debe ser aceptable (hasta cierto punto).
Personalmente, me gustaría ver la constante de tiempo RC 5 veces mayor que \ $ \ dfrac {1} {\ omega_c} \ $
En el otro extremo de la escala, RC no puede ser demasiado grande o comenzará a atenuar significativamente las frecuencias altas en la forma de onda analógica "detectada" que está representada por \ $ \ dfrac {1} {\ omega_m} \ $.
Aquí hay una imagen que con suerte explica: -
Estaimagensetomóde
También debe tener en cuenta que a medida que el índice de modulación se aproxima a 1, la constante de tiempo RC debe ser teóricamente muy pequeña y esto probablemente hará que coincida con el requisito de que sea significativamente mayor que \ $ \ dfrac {1} { \ omega_c} \ $.
su derivación es parcialmente correcta. Pls checkout mis imágenes para la derivación completa. 
Tenía la misma duda, por lo que cociné la siguiente derivación después de buscar varios enlaces como los de Andy aka. Mi derivación de la fórmula incluye todos los términos, excepto el factor de \ $ \ sqrt {1- \ mu ^ 2} \ $, que me desconcierta. Aquí va -
Para la primera desigualdad, tenga en cuenta que el tiempo requerido para que un capacitor se descargue a \ $ 99 \% \ $ de su carga inicial es de aproximadamente \ $ 5RC \ $. Ahora la salida no debe caer apreciablemente entre dos "picos" consecutivos de la onda modulada. El tiempo entre la llegada de dos picos de la onda modulada de entrada es aproximadamente \ $ \ dfrac {2 \ pi} {\ omega_c} \ $, por lo que queremos \ $ 5RC \ gg \ dfrac {2 \ pi} {\ omega_c} \ $, que podemos escribir como \ $ RC \ gg \ dfrac1 {\ omega_c} \ $. Las constantes exactas \ $ 5 \ $ y \ $ 2 \ pi \ $ no deben especificarse ya que la igualdad no se llevará a cabo, y "5" no es un límite exacto de todos modos.
Ahoraserequierelasegundadesigualdadparadeshacersedelrecortedepicosnegativo.
Aquísiasumimosquenuestraenvolventetienequetenerlaecuación$$V(t)=V_p(1+\mu\cos\omega_mt)$$donde\$V_p\$eselvalorpicoolaamplituddelaondadeentradamodulada,luego,entredospicos,laseñalcaeráalavelocidad\$\dfrac{dV}{dt}=-\muV_p\omega_m\sin\omega_mt\$cuyovalormáximoes(enmagnitud)\$\muV_p\omega_m\$.Porlotanto,la"pendiente" de la gráfica de la onda (voltaje) en función del tiempo tiene un valor máximo \ $ \ mu V_p \ omega_m \ $.
Ahora la salida suministrada por el detector de diodo entre dos picos viene dada por $$ V (t) = V_p e ^ {- \ frac t {RC}} $$ Así, entre dos picos, la salida cae a la tasa \ $ - \ dfrac {V_p} {RC} e ^ {- \ frac t {RC}} \ $ que es aproximadamente (en magnitud) \ $ \ dfrac {V_p} {RC } \ $, como \ $ e ^ {- \ frac t {RC}} \ approx 1 \ $. Esto se debe a que el valor máximo de \ $ t \ $ entre dos picos será \ $ \ dfrac {2 \ pi} {\ omega_c} \ $, que es mucho menor que \ $ RC \ $ como ya lo hemos hecho visto arriba Esto significa \ $ \ dfrac t {RC} \ approx 0 \ $, así que \ $ e ^ {- \ frac t {RC}} \ approx 1 \ $.
Ahora para evitar el recorte negativo, de la imagen anterior se desprende claramente que la magnitud de la pendiente de la forma de onda de salida debe ser mayor que la magnitud de la pendiente de la forma de onda de entrada, es decir, la velocidad a la que cae la entrada. Dado que este debe ser siempre el caso, necesitamos que la pendiente de la forma de onda de salida sea mayor que el valor máximo de la pendiente de la forma de onda de entrada.
Así debemos tener $$ \ mu V_p \ omega_m \ le \ dfrac {V_p} {RC} $$ Esto se simplifica a \ $ RC \ le \ dfrac {1} {\ omega_m \ mu} \ $.
Tenga en cuenta que la frecuencia de modulación es \ $ f_m = \ dfrac {\ omega_m} {2 \ pi} \ $ por lo que esto puede escribirse de manera equivalente como \ $ f_m \ le \ dfrac {1} {2 \ pi RC} \ $.
Ahora parece que no entiendo el factor de \ $ \ sqrt {1- \ mu ^ 2} \ $ aquí. Creo que lo he hecho casi bien, pero es posible que alguna parte necesite un poco de refinamiento para incorporar este factor. Tal vez alguien pueda aclarar este punto?
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