¿Por qué son estos bucles independientes?

Enseño circuitos y utilizo el mismo libro de texto del que proviene la figura. Mis alumnos me han preguntado acerca de esto y me tomó un tiempo encontrar una definición sólida. La declaración del texto "un bucle independiente es un bucle que contiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle independiente" es ambigua y, como se indicó anteriormente, es necesaria pero no suficiente. Si sigue estrictamente esta definición, tiene razón en que puede formar el bucle izquierdo IL (abca) que deja la resistencia de 3 ohmios y la fuente de 2A. Luego, puede formar el bucle derecho IR que comienza en b, pasa por la fuente 2A a c y luego vuelve a b a través de la resistencia de 3 ohmios. En este punto no hay más ramas únicas, pero no ha encontrado todos los bucles independientes.

Lo que debe agregarse a esta definición es "¿Se pueden expandir los nodos creando una rama única sin romper los bucles independientes? Si se crea una rama única sin romper un ciclo independiente, se debe formar un nuevo ciclo que contenga esta exclusiva. rama."

Si expandes el nodo a en dos puntos (a, d), romperás el bucle izquierdo, IL. Por lo tanto, la rama única creada entre los puntos a y d debe formar parte del bucle IL para que se pueda cerrar IL. No se agrega ningún bucle independiente. Si expande el nodo b en dos puntos (b, e), entonces ni el bucle izquierdo, IL, ni el bucle derecho, IR, están rotos. Esto crea una nueva rama entre los puntos bye que deben formar parte de un nuevo bucle independiente, IM. Si luego expandes el nodo c en (c, f), creas una nueva rama pero rompes el IM de modo que la nueva rama debe formar parte de la IM para cerrar ese ciclo. Si continúa expandiendo cualquier nodo, no se formarán nuevas ramas únicas y quedarán con los 3 bucles independientes, IL, IM e IR.

  

Ahora, la definición de un bucle independiente es un bucle que contiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle independiente.

Si un bucle tiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle, eso garantiza la independencia, pero no creo que sea necesario. (Matemáticamente, es suficiente pero no necesario .)

En el análisis de malla, estás intentando resolver un sistema de ecuaciones. Para eso, necesitas una ecuación por variable. Pero las ecuaciones deben ser linealmente independientes : si puedes hacer una ecuación sumando, restando y / o multiplicando las otras ecuaciones, no cuenta. Por ejemplo:

$$ x + y = 5 $$ $$ 2x + 2y = 10 $$

La segunda ecuación se puede producir al duplicar cada valor en la primera ecuación. Esto no le da ninguna información nueva, por lo que no puede resolver para x e y. Pero en este ejemplo:

$$ x + y = 5 $$ $$ x + 2y = 7 $$

no puedes obtener la segunda ecuación manipulando la primera. Así que puedes encontrar la solución: x = 3 y y = 2.

Volver a los circuitos. Su sistema tiene tres variables: las corrientes de malla \ $ I_L \ $ (a la izquierda), \ $ I_M \ $ (en el centro) y \ $ I_R \ $ (a la derecha). Aquí están las ecuaciones, asumiendo que las corrientes de malla fluyen en el sentido de las agujas del reloj:

$$ 10 \ mathrm V - I_L \ cdot 5 \ Omega - (I_L - I_M) \ cdot 2 \ Omega = 0 $$ $$ - (I_M - I_L) \ cdot 2 \ Omega - (I_M - I_R) \ cdot 3 \ Omega = 0 $$ $$ I_R = -2 \ mathrm A $$

Agrupando las variables da:

$$ 10 \ mathrm V - I_L \ cdot 7 \ Omega + I_M \ cdot 2 \ Omega = 0 $$ $$ I_L \ cdot 2 \ Omega -I_M \ cdot 5 \ Omega + I_R \ cdot 3 \ Omega = 0 $$ $$ I_R = -2 \ mathrm A $$

No hay forma de que podamos hacer una de estas ecuaciones a partir de la otra. El primero tiene un término constante, el segundo no, y el tercero solo nos da el valor de una variable. Si sustituimos \ $ - 2 \ mathrm A \ $ por \ $ I_R \ $ y tratamos de hacer coincidir las señales, es aún más obvio:

$$ I_L \ cdot 7 \ Omega - I_M \ cdot 2 \ Omega - 10 \ mathrm V = 0 $$ $$ I_L \ cdot 2 \ Omega - I_M \ cdot 5 \ Omega - 6 \ mathrm V = 0 $$

Las relaciones de los coeficientes y las constantes son totalmente diferentes. Estas ecuaciones son linealmente independientes.

Un bucle independiente contiene al menos una rama que no pertenece a otro bucle. Entonces, usando sus dos bucles, ABC y BC como ejemplos: ABC contiene una rama de 10V / 5 Ohm que no está en BC. BC contiene los 3 ohmios que no están en ABC, por lo tanto son independientes. Además, ABC a través de 2A / 5ohm / 10V contiene la fuente 2A que no está en ninguno de los dos primeros bucles, por lo que también es independiente. Esta no es la única combinación posible de tres bucles independientes necesarios para resolver el problema.