Para un filtro de segundo orden, sería bueno permitir que la ganancia, la frecuencia y la amortiguación se puedan configurar de forma independiente. Esto impone restricciones en la ganancia y las relaciones de los resistores y condensadores que usa.
Para cierta frecuencia, \ $ \ omega \ $, una ecuación de filtro de paso tan bajo parece:
$$ \ begin {align *} \ frac {e_ \ text {OUT}} {e_ \ text {IN}} & = \ frac {K \: \ omega ^ 2} {s ^ 2 + d \ : \ omega \: s + \ omega ^ 2} \ label {eq1} \ tag {Two Pole Low Pass} \ end {align *} $$
Para el análisis, \ $ \ omega = 1 \ $ y gane \ $ K = 1 \ $, entonces:
$$ \ begin {align *} \ frac {e_ \ text {OUT}} {e_ \ text {IN}} & = \ frac {1} {1 + d \: s + s ^ 2} \ label {2PLP} \ tag {Two Pole Analysis} \ end {align *} $$
La ecuación \ $ \ ref {2PLP} \ $ de arriba es la única ecuación que representa cada filtro de paso bajo de dos polos. (Tenga en cuenta que \ $ d \ $ es el valor de amortiguamiento y no el índice de amortiguamiento . Tenga cuidado aquí, porque la enseñanza más moderna se realiza utilizando el índice de amortiguamiento .)
Un Butterworth tiene \ $ d = \ sqrt {2} \ $. Entonces, la ecuación \ $ \ ref {2PLP} \ $ establecida para un filtro Butterworth, con \ $ \ omega = 1 \ $, es:
$$ \ begin {align *} \ frac {e_ \ text {OUT}} {e_ \ text {IN}} & = \ frac {1} {1 + \ sqrt {2} \: s + s ^ 2} \ label {2PLPA} \ end {align *} $$
Pero eso es para \ $ \ omega = 1 \ $.
Para el arreglo de Sallen-Key, \ $ \ omega ^ 2 = \ frac {1} {R_1 \: C_1 \: R_2 \: C_2} \ $, y la ecuación resultante es:
$$ \ begin {align *} \ frac {e_ \ text {OUT}} {e_ \ text {IN}} & = \ frac {\ frac {K} {R_1 \: C_1 \: R_2 \: C_2}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {1} {R_1 \: C_1} + \ frac {1} {R_2 \: C_1} + \ frac {1-K} {R_2 \: C_2} \ right ) \: s + \ frac {1} {R_1 \: C_1 \: R_2 \: C_2}} \ end {align *} $$
Entonces, dado su circuito con \ $ K = 1 \ $, obtengo aproximadamente \ $ f = 1927 \: \ text {Hz} \ $ y \ $ d = 1.4071 \ $. Eso está bastante cerca de un filtro Butterworth. (Por supuesto, las partes tienen barras de precisión; no se explican aquí).
\ $ \ omega = 1 \ $ para fines de análisis. En ese caso, la función de transferencia es la ecuación \ $ \ ref {2PLP} \ $ anterior. Sin embargo, luego lo traduce en la función de transferencia en algunos \ $ \ omega \ $ como se muestra en la ecuación \ $ \ ref {eq1} \ $. (Establezca \ $ K = 1 \ $ para su topología).
La ecuación de análisis está diseñada para exponer el valor de atenuación como una nueva adición al filtro de un polo (que carece de él). Todos los filtros de paso bajo de 2 polos pueden analizarse usándolo, teniendo en cuenta que \ $ \ omega = 1 \ $ en el momento. Por eso ve el valor \ $ d = 1.414 \ $ para un Butterworth. Suponen que usted entiende que esto está en el contexto de \ $ \ omega = 1 \ $ y que sabe cómo cambiar los valores para obtener la frecuencia de corte que desea mientras mantiene el factor de amortiguamiento. mismo. Puede establecer estos detalles de forma independiente. Lo cual es una faceta importante de este proceso.
