¿Es la ley de Ohm siempre exactamente exacta incluso a nivel microscópico?

Considere la regla de que el volumen de líquido en un recipiente es igual a la altura del líquido por su área de sección transversal horizontal. Para los buques cuya sección transversal horizontal es uniforme de arriba a abajo, reducir a la mitad la altura del líquido reducirá a la mitad su volumen. Duplicar la cantidad de líquido, si hay espacio, duplicará el volumen.

Sin embargo, supongamos que uno elimina casi todo el líquido del recipiente, dejando solo dos nanolitros. y luego corta la altura del líquido por la mitad. ¿Debería esperarse que quedara exactamente un nanolitro?

La relación entre el área de la sección transversal, la altura y el volumen sigue siendo verdadera por definición en cualquier escala, grande o pequeña, siempre que esas cantidades sean números definidos de manera concreta. Sin embargo, a escalas muy pequeñas, conceptos como "volumen" se vuelven más bien nebulosos. Si solo hay unos pocos cientos de moléculas rebotando, no está claro cuánto espacio del exterior debe contar como parte del "volumen" de líquido, y cuánto debe considerarse "espacio vacío". En tales casos, la relación entre la altura, el volumen y el área de la sección transversal no se "descompone" sino que se vuelve cada vez menos significativa, especialmente en los casos en que el área de la sección transversal varía ampliamente con la altura.

Para decirlo de otra manera, cuando las cantidades se vuelven muy pequeñas, las incertidumbres de medición se vuelven muy grandes. Cuando las cantidades se vuelven tan pequeñas que las incertidumbres de las mediciones llegan a ser tan grandes como las mediciones, la Ley de Ohm seguirá vigente, pero dejará de tener mucho valor predictivo.

A nivel microscópico todo cambia. ¡No puedes medir precisamente nada! También la forma conocida de la Ley de Ohm se usa con buenos resultados solo en la teoría de circuitos. Esta forma es también una aproximación. La ley de Ohm se deriva (como todas las ecuaciones de electromagnetismo) de las ecuaciones de Maxwell, por lo que su forma general es:

$$ J = \ sigma \ cdot E $$

Todas las teorías que intentan describir un fenómeno microscópico utilizan probabilidades y estadísticas (como puede verse leyendo este libro) y como resultado, cada cantidad solo puede ser una aproximación. Exactamente lo mismo ocurre con la Ley de Ohm.

Además, si alguien trató de encontrar con precisión una de las cantidades que aparecen en la ecuación, debería tomar un número infinito de muestras para el resto de las cantidades para que no haya error. Esto no solo es imposible dado que nadie puede vivir para siempre sino que también es imposible. Basándose en eso, para tomar muestras infinitas de J, tienes que poder contar todos los electrones, lo que obviamente también es imposible. En resumen, es solo una aproximación.

Creo que la ley de Ohm funciona porque los electrones dispersan mucho.
Para distancias que están en el orden de la longitud de dispersión, es posible que vea un comportamiento no óhmico.

La Ley de Ohm es una ecuación simple que se puede derivar de las ecuaciones que describen el comportamiento microscópico de los electrones promediando esas ecuaciones en escalas espaciales y de largo tiempo.

Aunque no se indica a menudo, el voltaje, la corriente y la resistencia que aparecen en la Ley de Ohm son valores promedio.

A nivel microscópico, la corriente que fluye a través de alguna superficie no es agradable y suave, sino que parece bastante aleatoria a medida que los electrones se mueven a través de esa superficie. Si su superficie es demasiado pequeña, tendrá que esperar mucho tiempo antes de ver los electrones (y por lo tanto, cualquier corriente). De manera similar, si no esperas lo suficiente, es posible que no veas ningún electrón en absoluto, o incluso puedes ver que los electrones se mueven en la dirección opuesta a lo que realmente es la corriente promedio. Recuerde que los electrones se mueven en un conductor de forma casi aleatoria: solo en promedio se mueven juntos en una dirección.

Por lo tanto, tiene que esperar mucho tiempo y observar grandes áreas para poder construir las estadísticas para obtener una teoría promedio agradable. Esa teoría es la ley de Ohm.