Tiempo necesario para cargar el condensador

Si quieres una ecuación "simple", y parece que sí, podrías comenzar con la definición de actual.

Primero, comencemos con el faradio. Normalmente se expande como \ $ F = \ frac {As} {V} \ $.

Ahora escribamos eso con símbolos de capacitancia, corriente, voltaje y tiempo:

\ $ C = \ frac {It} {U} \ $

Ya que tenemos corriente y voltaje constantes y necesitamos tiempo, dividiremos la ecuación con la corriente y multiplicaremos con el voltaje para que podamos obtener el tiempo.

Eso nos da \ $ \ frac {UC} {I} = t \ $.

Si esto es solo un problema de la escuela, entonces tenemos una solución.

En la vida real las cosas funcionarán de manera diferente. A medida que el capacitor se carga, la tensión en el capacitor caerá, lo que provocará una caída de la corriente y, por lo tanto, el tiempo será más largo.

Aquí hay un ejemplo:   Supongamos que al principio, el condensador está descargado. Primero tenemos el voltaje en la resistencia que es \ $ U_r = Ri \ $. Luego tenemos voltaje en el capacitor que es \ $ U_c = \ frac {1} {C} \ int {i \ mbox {} dt} \ $.

Así que sabemos que \ $ E = Ri + \ frac {1} {C} \ int {i \ mbox {} dt} \ $. Para resolver esto, necesitamos convertirlo en una ecuación diferencial.

\ $ (E = Ri + \ frac {1} {C} \ int {i \ mbox {} dt}) / \ frac {d} {dt} \ $

Dado que \ $ E \ $ es constante, se convertirá en cero. La integración y la diferenciación se anularán mutuamente y obtendremos:

\ $ R \ frac {di} {dt} + \ frac {i} {C} = 0 \ $ A continuación dividimos todo con \ $ R \ $ y obtenemos
\ $ \ frac {di} {dt} + \ frac {i} {RC} = 0 \ $

Después de eso, movemos \ $ \ frac {1} {RC} i \ $ al otro lado y multiplicamos todo con \ $ dt \ $ y dividimos todo con \ $ i \ $ y obtenemos:

\ $ \ frac {di} {i} = - \ frac {1} {RC} dt \ $

Ahora integramos todo y obtenemos \ $ \ int {\ frac {di} {i}} = - \ int {\ frac {1} {RC} dt} \ $ Como resultado, obtenemos:

\ $ \ ln {i} = - \ frac {t} {RC} + C_1 \ $

Ahora para deshacernos del logaritmo, elevamos todo a \ $ e \ $
\ $ i = C_1 e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

Ahora tenemos la solución general y necesitamos determinar las constantes. Así que primero observamos lo que sucede cuando el tiempo es igual a cero:

\ $ i = C_1 e ^ {- \ frac {0} {RC}} = C_1 \ $.

También sabemos que la corriente inicial es \ $ i _ {(0)} = \ frac {E} {R} \ $. A partir de eso podemos determinar que \ $ C_1 = \ frac {E} {R} \ $.

La ecuación completa para la corriente es:
\ $ i _ {(t)} = \ frac {E} {R} e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

Esta es una ecuación de carga de condensadores clásica y está disponible en muchas fuentes en Internet.

La \ $ RC \ $ también se denomina constante de tiempo, por lo que \ $ \ tau = RC \ $. Generalmente se considera que cinco constantes de tiempo son suficientes para cargar un capacitor.

Para este circuito:

Cuando todo comienza en 0 V y luego la entrada se cambia a Vin en el tiempo t = 0:

\ $ V_ {out} (t) = V_ {in} (1 - e ^ {- \ frac {t} {RC}}) \ $

Cuando R está en Ohms y C en Farads, t está en segundos.

Hay DOS casos, como Chris indicó.

El caso 1 es donde se carga un condensador de una fuente de voltaje constante con resistencia y capacidad conocidas. (La resistencia es cualquier resistencia del circuito más la resistencia interna del condensador más cualquier resistencia adicional. Este es el caso cubierto, por ejemplo, por Andreja Ko & Olin.
 Obtienes

\ $ V_ {out} (t) = V_ {in} (1 - e ^ {- \ frac {t} {RC}}) \ $

{robado de Olin}, que puedes reorganizar para t.

El caso 2 se está cargando a una corriente constante.
 Más cargos actuales más rápido.
 Más capacitancia toma más tiempo.
 La carga a un voltaje más alto lleva más tiempo

Entonces:

\ $ t = \ frac {VC} {I} \ $

Las ecuaciones básicas son

time constant = R C = 1/(2 Pi fc)
i = dq/dt = C du/dt

Enlaces: wikipedia Carga y descarga del capacitor

Espero que ayude!

Si bien todas las fórmulas anteriores son útiles, prefiero verlo como una cubeta con corriente que fluye en él para cargarlo a un cierto nivel de voltaje. ¿Qué determina la cantidad de tiempo que se tarda en llenar el cubo? Su capacitancia o C del cubo.

Ahora digamos que la corriente que fluye es I. C actúa como resistencia para evitar que el nivel del agua suba. ¿Qué tan rápido puede subir el nivel del agua? Si es más, será más rápido. Si C es más, será más lento. Por lo tanto, el tiempo de aumento de nivel de agua es solo I / C.

Ahora sabemos lo rápido que puede subir el nivel del agua. ¿Cómo sabemos el tiempo para obtener un cierto valor? Pendiente = (voltaje inicial-voltaje inicial) / tiempo = I / C Por lo tanto, Tiempo = Delta (V) * C / I

Nuevamente, para representar rápidamente esto, el tiempo es menor si C es menor, la corriente fluye en mayor cantidad o Vfinal es menor.

Espero que esto ayude.

También debe considerarse la posibilidad de que el condensador tenga una tensión inicial distinta de cero. Siguiendo los cálculos de AndrejaKo, la corriente a través del circuito si el voltaje inicial a través del capacitor \ $ V_ {C0} = 0 \ $ es:

\ $ i _ {(t)} = \ frac {E} {R} e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

Pero si \ $ V_ {C0} \ $ no es cero entonces

\ $ i _ {(t)} = \ frac {E - V_ {C0}} {R} e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

Para que el voltaje a través de R sea

\ $ V_R (t) = i _ {(t)} R = (E - V_ {C0}) e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

Y la tensión en C en cualquier momento t es:

\ $ V_C (t) = E - V_R (t) = E - (E - V_ {C0}) e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

\ $ V_C (t) = E + (V_ {C0} - E) e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $

El condensador (C) en el diagrama del circuito se está cargando desde una tensión de alimentación (Vs) con la corriente que pasa a través de una resistencia (R).

El voltaje a través del capacitor (Vc) es inicialmente cero, pero aumenta a medida que el capacitor se carga.
El condensador está completamente cargado cuando Vc = Vs.
La corriente de carga (I) está determinada por la tensión en la resistencia (Vs - Vc):

 Charging current,  I = (Vs - Vc) / R   (note that Vc is increasing)  

Al principio Vc = 0V, la corriente inicial,

 Io = Vs / R 

Vc aumenta tan pronto como la carga (Q) comienza a acumularse (Vc = Q / C),
Esto reduce el voltaje a través de la resistencia y por lo tanto reduce la corriente de carga. Esto significa que la tasa de carga se vuelve progresivamente más lenta.

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