¿Por qué, en un circuito pasivo con una entrada sinusoidal, todas las tensiones y corrientes tienen el mismo comportamiento sinusoidal que la entrada?

He estado derramando mis cerebros y, finalmente, he encontrado un buen enfoque matemático para demostrar esto y decidí responder mi propia pregunta. En tal circuito, la resolución de cualquier voltaje / corriente a través de / a través de cualquier componente (lo llamaré \ $ f \ $) siempre lo llevaría a construir una ecuación diferencial que siempre es lineal, con coeficientes constantes (debido a las propiedades lineales). de componentes pasivos) y no homogéneos (debido a la entrada sinusoidal). Tal ecuación diferencial siempre tomará esta forma: $$ a \ frac {d ^ nf} {dt ^ n} + b \ frac {d ^ {n-1} f} {dt ^ {n-1}} +. .. + j \ frac {df} {dt} + kf = C \ sin {(\ omega t + \ theta)} $$ donde \ $ a ... k \ $ son constantes (combinaciones de inductancia, resistencia, etc. ), \ $ n \ $ es el orden de la ecuación diferencial (que refleja el número de elementos de almacenamiento de energía en el circuito), y \ $ C \ sin {(\ omega t + \ theta)} \ $ es una función sinusoidal generalizada que describe la entrada. Una solución general a esta ecuación diferencial siempre tomará esta forma: $$ f = \ text {(solución homogénea general)} + \ text {(solución particular)} $$ donde la solución particular \ $ = A \ sin {(\ omega t + \ theta)} + B \ cos {(\ omega t + \ theta)} \ $ que es una función sinusoidal de la misma frecuencia! Ahora, en el análisis del circuito de CA, siempre estamos mirando el circuito en estado estable, cuando la solución homogénea se acerca a cero (lo que inevitablemente sucede debido a las resistencias en el circuito).

Esto es solo verdadero para circuitos LTI (Linear Time-Invariant). Si tiene un componente no ideal (y todos están en un grado u otro), verá armónicos de la frecuencia de entrada en la salida. Los inductores tienden a ser los peores, pero todas las partes pasivas tienen tal comportamiento. Por ejemplo, los condensadores pueden mostrar un fuerte coeficiente de voltaje y no son invariantes en el tiempo debido a la absorción dieléctrica.

Para obtener una prueba matemática sencilla (suponiendo aproximadamente el segundo año de matemática universitaria) puede leer estos Notas del curso de Berkeley (EECS20N: Señales y sistemas). Puede descargar el texto completo aquí .

Ocurre porque una onda sinusoidal es solo una línea en el espectro de frecuencias y no importa lo que haga con un filtro o amplificador lineal, todo lo que sucede es que la fase o la amplitud cambian.

Si se tratara de una onda cuadrada (armónicos infinitos), aplicar un filtro atenuaría o acentuaría algunas frecuencias más que otras y la onda cuadrada perdería su forma cuadrada reconocible.

Armónicos de onda cuadrada: -

fuente de GIF

La razón básica es que las ecuaciones constitutivas de las componentes ideales R, L y C son lineales, ecuaciones invariantes en el tiempo que involucran solo derivadas e integrales (ambas operaciones lineales) y que el seno y el coseno se convierten en otros senos y cosenos cuando se actúa sobre ellos. Operadores lineales.

La derivada y la integral de una función sinusoidal es otra función sinusoidal de la misma frecuencia (solo puede cambiar en amplitud y fase). KCL y KVL solo pueden llevar a sumas algebraicas de tales funciones sinusoidales, y esa operación solo puede producir otra función sinusoidal. Entonces, al final, cuando conectas R, L y C en una red, una entrada sinusoidal siempre conducirá a una salida sinusoidal.

Vea mi otra respuesta aquí .

Todo esto es una consecuencia directa de la auto-similitud de la función exponencial (relacionada con los senos y los cosenos por la ecuación de Euler). Puede leer el primer capítulo en Giorgi, The Physics of Waves para obtener un completo explicación para eso.

(Tenga en cuenta que esta propiedad de transformarse en una copia escalada y desplazada en el tiempo de sí misma en un intervalo que abarca desde \ $ t = - \ infty \ $ a \ $ t = + \ infty \ $ es exclusiva de las funciones sinusoidales generalizadas - todas las demás funciones terminarán siendo 'deformadas' por el circuito lineal invariante en el tiempo. Soluciones de un sistema lineal que son copias escaladas de sí mismas como en \ $ A \ x = \ lambda \ x \ $ (donde \ $ \ lambda \ $ es un escalar complejo que contiene información sobre la atenuación y el cambio de fase) se denomina característica, o propiamente dicha, o soluciones propias de los sistemas. Se pueden usar para construir una base ortogonal con la propiedad de que cualquier otra función (de buen comportamiento) se puede descomponer como una suma generalizada de tales ladrillos elementales, y esto lo llevará directamente al territorio de la serie de Fourier, pero esa es otra historia).

En la primera respuesta a esta pregunta en Math SE se da una explicación concisa: ¿Por qué usamos funciones trigonométricas en las transformadas de Fourier, y no otras funciones periódicas?

  

Las funciones básicas de Fourier \ $ e ^ {iωx} \ $ son funciones propias del cambio   operador \ $ S_h \ $ que asigna una función \ $ f (x) \ $ a la función \ $ f (x − h) \ $:   \ $ e ^ {iω (x − h)} = e ^ {- iωh} e ^ {iωx} \ $ para todos \ $ x∈R \ $.

Esto es cierto solo cuando se restringen los elementos pasivos a R, L, C, y tal vez a los cristales que están correctamente impulsados, e incluso entonces, hay dos excepciones, ver más abajo. Los diodos intencionales y no intencionales, los varistores, los termistores con una masa térmica y otros elementos no lineales pueden introducir rápidamente distorsiones en las entradas sinusoidales puras. Los cristales saturados o los filtros de cerámica también pueden comportarse de manera no lineal. Si se incluyen elementos de dos terminales con resistencia negativa (tubos de descarga de gas, diodos de túnel) en la categoría pasiva, existen aún más posibilidades.

Las excepciones:

Las partes del mundo real tienden a tener imperfecciones que las hacen comportarse un poco como algunos elementos no lineales. Los resistores pueden tener un comportamiento de "termistor con masa térmica" e incluso "varistor". Los condensadores pueden tener dependencia de voltaje en su valor debido a los efectos piezoeléctricos, campos eléctricos que producen fuerza mecánica, efectos químicos (en electrolíticos). Además, algunos efectos parecidos al electreto parecen estar documentados para los condensadores. Las uniones de metal a metal pueden desarrollar un comportamiento similar al diodo. Los inductores pueden volverse no lineales a través de la saturación del núcleo, la interacción del campo magnético con objetos metálicos cercanos, etc ...

Todos los componentes resistivos que llevan una corriente exhiben algunos comportamientos generadores de ruido, cuyos límites inferiores están definidos por la física física.

Tenga en cuenta que todas las señales repetitivas aparentemente no sinusoidales de la vida real se pueden describir perfectamente como una suma de ondas sinusoidales de frecuencias y fases variables.

En busca de la conexión con la naturaleza, harás que vayas en círculos: las ondas sinusoidales son el ingrediente principal para hacer círculos, óvalos y cosas redondas, según los geeks de matemáticas (si quieres dibujar un círculo en una computadora, generalmente o use las funciones de seno / coseno o use el teorema de pitágoras directamente de alguna manera ...). La naturaleza hace muchas cosas redondas (cabello, tallos de plantas, cerezas, manchas de cereza, tornados, etc.) y mantiene un amplio suministro de ondas sinusoidales para ese propósito.

Un 'circuito' generalmente se considera una red de componentes, con un puerto de 'entrada' y un 'salida'. Con la teoría de la red, como la Ley de Ohms, puede derivar una ecuación, la "función de transferencia", que describe la salida en términos de la entrada. Con los componentes 'lineales', siempre encontrará una función de transferencia 'lineal'.

Vamos a describir algunos componentes lineales con funciones como output = F(input) , output2 = G(input2) , etc. Luego, la combinación de dichos componentes conduce a una función combinada como output2 = G(F(input1)) . Debido a que ambas funciones son lineales, por lo tanto de la forma y = a * x + b , entonces esas combinaciones también son lineales.

Al aplicar una señal de entrada sinusoidal a la red lineal, la salida se puede amplificar por el factor a, y cambiar por el voltaje b. Con matemáticas complejas, o ecuaciones diferenciales, incluso puedes obtener un 'cambio de fase', pero no una frecuencia diferente, porque la derivada de un seno tiene la misma frecuencia.

¿Quieres esto aún más formal?

O su premisa es falsa o no ha articulado correctamente las condiciones de los límites.

Considere un dispositivo pasivo simple como un diodo. Exhibirá una característica de transferencia no lineal que dará como resultado una salida no sinusoidal para un determinado

También considere un circuito resonante ideal (LC) con una función de transferencia que dé como resultado una salida cero, por lo tanto no sinusoidal.

Las funciones propias de los sistemas invariantes en el tiempo lineal (y las redes pasivas generalmente son de ese tipo) son exponenciales complejas, y sus superposiciones reales son sinoides de fase arbitraria.

Una función propia es una función que solo cambiará por un factor constante (en este caso, complejo) al pasar por un sistema. Los sistemas lineales son aquellos en los que la salida correspondiente a la suma de varias entradas corresponde a la suma de la salida de las entradas individuales, por lo que siempre puede analizarlas expresando su entrada como una suma conveniente. Si esta suma puede ser una suma expresada en una base de función propia ortogonal, las cosas se vuelven mucho más fáciles.

Hola análisis de Fourier.