Gráficos de polos y pozos

El diagrama de Bode no es un gráfico que traza la función de transferencia (\ $ H (s) \ $) contra \ $ s \ $. \ $ H (s) \ $ es una función compleja y su gráfica de magnitud en realidad representa una superficie en el sistema de coordenadas cartesiano. Y esta superficie tendrá picos que van hasta el infinito en cada polo como se muestra en la figura:

La gráfica de Bode se obtiene sustituyendo primero \ $ s = j \ omega \ $ in \ $ H (s) \ $ y luego representándola en forma polar \ $ H (j \ omega) = | H (\ omega) | \ angle \ phi (\ omega) \ $. \ $ H (\ omega) \ $ da la gráfica de la magnitud de los códigos y \ $ \ phi (\ omega) \ $ da la gráfica de la fase de los códigos.

El diagrama de magnitud de Bode es la aproximación asintótica de la magnitud de la función de transferencia (\ $ | H (\ omega) | \ $) vs logaritmo de frecuencia en radianes / seg (\ $ \ log_ {10} | \ omega | \ $) con \ $ | H (s) | \ $ (expresado en dB) en el eje y y \ $ \ log_ {10} | \ omega | \ $ en el eje x.

Llegando a las preguntas:

1. En los polos, la superficie compleja de \ $ | H (s) | \ $ alcanza el infinito, no \ $ | H (\ omega) | \ $.

2. Cuando un sistema se alimenta con frecuencia polar, la salida del copatrocinador tendrá la misma frecuencia pero la amplitud y la fase cambiarán. El valor puede determinarse sustituyendo la frecuencia en radianes / seg en \ $ | H (\ omega) | \ $ y \ $ \ phi (\ omega) \ $ respectivamente.

3. Un polo a -2 rad / s y 2 rad / s tiene el mismo efecto en \ $ | H (\ omega) | \ $. Y nuestro interés está en la respuesta de frecuencia. Así que solo necesitamos una parte positiva de ello.

Al tratar de entender las funciones de transferencia, creo que la "analogía de la hoja de goma" es muy útil. Imagine una lámina de goma elástica que cubra el plano complejo \ $ s \ $ - e imagine que en cada cero de la función de transferencia, la lámina está pegada al suelo y en cada polo hay un palo delgado literal que empuja la lámina de goma arriba. La magnitud de la respuesta de frecuencia es la altura de la lámina de goma a lo largo del eje \ $ j \ omega \ $ -

1. De la analogía anterior, por supuesto, la ganancia sube hacia el polo. Pero al alejarse del polo, la contribución del polo hace que la función de transferencia disminuya (por ejemplo, yendo hacia el próximo cero). Imagine el sistema simple que dio como ejemplo en su tercera pregunta. Tiene un polo de valor real en \ $ s _ {\ infty} = - 2 \ $, y - debido a este polo - también tiene un cero en \ $ s_0 = \ infty \ $. Por lo tanto, al alejarse del polo a medida que aumenta la frecuencia, la función de transferencia se reduce porque la lámina de goma está pegada al suelo en el infinito. Matemáticamente, esto también es fácil de ver: $$ H (s) = \ frac {1} {s + 2} \ Longrightarrow \ left | H (j \ omega) \ right | ^ 2 = \ frac {1} {\ omega ^ 2 + 4} = \ frac14 \ frac {1} {\ left (\ frac {\ omega} {2} \ right) ^ 2 + 1} $$ En decibeles obtenemos $$ 10 \ log_ {10} \ left | H (j \ omega) \ right | ^ 2 = -10 \ log_ {10} (4) -10 \ log_ {10} \ left [\ left (\ frac {\ omega } {2} \ derecha) ^ 2 + 1 \ derecha] \ etiqueta {1} $$ Para \ $ \ omega \ gg 2 \ $ el segundo término en el lado derecho de (1) puede ser aproximado por $$ - 10 \ log_ {10} \ left (\ frac {\ omega} {2} \ right) ^ 2 = -20 \ log_ {10} (\ omega / 2) $$ que es una línea recta con una pendiente de \ $ - 20 \, \ text {dB} \ $ por década.

2. Cuando excita un sistema con una señal correspondiente a uno de sus polos, entonces esta señal de entrada se "amplifica" en comparación con las señales de entrada con otras frecuencias. Tenga en cuenta, sin embargo, que para un sistema estable, la señal de salida siempre decae. P.ej. si excita el sistema con la función de transferencia \ $ H (s) = \ frac {1} {s + 2} \ $ con una señal de entrada \ $ x (t) = e ^ {- 2t} \ $, entonces la salida será \ $ y (t) = te ^ {- 2t} \ $, donde el factor \ $ t \ $ corresponde a la "amplificación" del sistema de la señal de entrada. Sin embargo, el factor exponencial hará que el enfoque de señal \ $ 0 \ $ para valores grandes de \ $ t \ $.

3. En resumen, no decimos que haya una vara en \ $ 2 \ $ rad / s, porque no la hay. De hecho, el caso es que la frecuencia de corte está determinada por la parte real del polo, es decir, el punto de inicio de la línea con pendiente negativa en el diagrama de Bode está determinado por el valor \ $ 2 \ $. Este es el ejemplo que dí en el punto 1 anterior, donde la aproximación en línea recta con \ $ - 20 \ $ dB por década es válida para \ $ \ omega \ gg 2 \ $. El valor \ $ 2 \ $ no está determinado por la frecuencia del polo (que es cero) sino por la parte real del polo.

El gráfico muestra la diferencia entre la frecuencia natural en el plano complejo \ $ s \ $ - (infinito) y el pico de magnitud correspondiente a lo largo del eje \ $ j \ omega \ $ que se puede observar durante las mediciones: el gráfico pertenece a una frecuencia natural de \ $ \ omega_p = 1000 \ $ rad / s y un factor de calidad de polo \ $ Q_p = 1.3 \ $ (que es una medida de la ganancia máxima observable). Esta gráfica visualiza las características de Chebyshev de segundo orden con una ondulación de 3 dB en la banda de paso.

La "s" en tus ecuaciones es la constante en la función exp (s * t). Entonces, cuando s es un número real, esta función de tiempo es una función de crecimiento o caída exponencial. Su ejemplo con s = -2 es una función de caída exponencial. Para cualquier polo "número", la salida aumentará cuando aplique una entrada a ese "número". Si aplica una señal de caída exponencial a su circuito de ejemplo, la señal de salida irá al infinito. (Tenga en cuenta, sin embargo, que no es posible generar una señal que siempre esté cayendo de manera exponencial, porque tal señal es muy grande en ocasiones anteriores). Cuando hablas de frecuencias como 2 radianes / seg, estás hablando de polos en j * 2, no 2, por lo que esas señales son sinusoidales. Es posible generar señales que son ondas sinusoidales (al menos durante un tiempo bastante largo). Obtendrá infinitos si aplica esta señal de onda sinusoidal a un sistema con un polo en + -j * 2, pero no si lo aplica a un sistema con un polo en -2.