No entiendo el siguiente paso en mis notas:
Se trata de la eliminación del filtro.
$$ H (\ omega) = {1 \ sobre 1 + j (\ omega / \ omega_c)} $$
$$ \ Rightarrow | H (\ omega) | = {1 \ over \ sqrt {1 + (\ omega / \ omega_c) ^ 2}} $$
donde $$ H (\ omega) = {v_o \ over v_i} $$
$$ \ omega_c = \ text {frecuencia de corte} $$
Roll-off es un concepto de filtro de paso bajo realizable. El filtro de paso bajo más simple que se pueda imaginar es una resistencia en serie seguida por un condensador conectado a tierra.
R
Vi -------+\/\/\/\+---------+--------- Vo
|
--- C
---
|
GND
La corriente a través de la resistencia, \ $ \ dfrac {V_i - V_o} {R} \ $,
debe ser igual a la corriente a través del condensador, \ $ \ dfrac {V_o} {Z_C} \ $.
Z C es la impedancia del capacitor, que es \ $ \ dfrac {1} {j \ omega C} \ $.
Entonces:
\ $ \ dfrac {V_i - V_o} {R} = V_o j \ omega C \ $
... Resuelve para \ $ \ dfrac {V_o} {V_i} \ $ (un ejercicio para el lector) y obtienes:
\ $ \ dfrac {V_o} {V_i} = \ dfrac {1} {1 + j \ omega R C} \ $
Tome la magnitud de la función de la manera estándar para números complejos, y obtendrá la ecuación con la raíz cuadrada en el denominador.
Usted define la frecuencia de corte como el punto en el cual la magnitud de su respuesta se atenúa en cierta medida. Si define ese punto tal que
\ $ \ omega_c = \ dfrac {1} {RC} \ $, luego
\ $ \ left \ lvert \ dfrac {V_o} {V_i} \ right \ rvert = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} ~ = 0.707 \ $, o aproximadamente el 70%.
Estoy un poco oxidado aquí, pero creo que si tomas la segunda derivada de \ $ \ left \ lvert \ dfrac {V_o} {V_i} \ right \ rvert \ $ también encontrarás que \ $ \ omega_c \ $ es el punto de inflexión máxima.
Para calcular la magnitud, multiplica la expresión por el conjugado complejo (que obtienes al reemplazar j por -j) y toma la raíz cuadrada
$$ \ sqrt {\ frac {1} {j + \ frac {\ omega} {\ omega_ {c}}} \: \: \: \ cdot \ frac {1} {- j + \ frac {\ omega} {\ omega_ {c}}}} \: \: \: = \ sqrt {\ frac {1} {- j ^ 2 + \ left (\ frac {\ omega} {\ omega_ {c}} \ right) ^ 2} } $$
y desde j = sqrt (-1)
$$ - j ^ 2 = 1 $$
Esto te deja en el paso con el que creo que estás teniendo problemas, y cuando se reduce, te da la respuesta:
$$ \ Rightarrow | H (\ omega) | = {1 \ over \ sqrt {1 + (\ omega / \ omega_c) ^ 2}} $$
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