Sé que esta pregunta está relacionada con las matemáticas, pero aún no entiendo por qué podemos decir que la siguiente fórmula es válida:
Tengo un voltaje \ $ V: \ left [0, \ infty \ right] \ to \ mathbb {R} \ $ y \ $ V \ $ es periódico con \ $ T \ $. ¿Por qué podemos decir que el voltaje promedio obedece a la siguiente fórmula:
$$ \ overline {V} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ int_0 ^ nV (t) dt = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TV ( t) dt $$
Mientras que las otras respuestas son correctas, personalmente me cuesta "ver" la corrección de una prueba a partir de fórmulas. Así que pongámonos un poco más ondulados a mano.
Supongamos que se conoce el promedio de un solo período de la forma de onda. El promedio del siguiente período será el mismo, esta es la definición de período después de todo, cada período es el mismo.
Dado esto, si promediamos exactamente un período, dos períodos o un número entero de períodos, obtendremos el mismo promedio.
Sin embargo, ¿qué sucede si promediamos más de la mitad de un período? Obtendremos una respuesta diferente. Por lo tanto, un promedio de más de 1.5, o 2.5, o 10.5 períodos dará respuestas diferentes, ya que la contribución del período medio es diferente a la contribución del período completo.
Pero, hay una tendencia. Si promediamos en n.5 períodos, tendremos n contribuciones del promedio constante y solo una contribución del diferente. A medida que n aumenta, la contribución del semestre tiene un efecto menor, por el factor de n. Cuando permitimos que n crezca sin límite, la contribución de medio período se reduce para convertirse en una parte insignificante del promedio. En el límite, como n tiende a infinito, eliminamos todo este lenguaje de "tendencia a", y simplemente decimos que son iguales, que el promedio no se ve afectado por ninguna contribución que no sea del período.
No es una prueba estrictamente formal, pero ... Asuma \ $ n \ $ como un múltiplo de \ $ T \ $ para que pueda dividir el tiempo \ $ n \ $ en \ $ \ frac {n} {T} \ $ periodos, donde la integral será la misma \ $ I = \ int_0 ^ TV (t) dt \ $. Luego, la suma infinita será $$ \ int_0 ^ nV (t) dt \ = \ frac {n} {T} \ cdot I = \ frac {n} {T} \ int_0 ^ TV (t) dt $$. Ahora puedes dividir ambos lados por \ $ n \ $ y tener
$$ \ frac {1} {n} \ int_0 ^ nV (t) dt \ = \ frac {1} {T} \ cdot I = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TV (t) dt $$
Ahora piense que si \ $ n \ $ no es múltiplo de \ $ T \ $ habrá una parte limitada de la integral \ $ I \ $ que se agregará, llamémosla \ $ C \ $. Así que, en general, se verá así:
$$ \ frac {1} {n} \ int_0 ^ nV (t) dt \ = \ frac {C} {n} + \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TV (t) dt $$
O reescribimos:
$$ \ frac {1} {n} \ int_0 ^ nV (t) dt \ - \ frac {C} {n} = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TV (t) dt $$
Pero una vez que tomamos \ $ n \ $ a \ $ \ infty \ $, el término \ $ \ frac {C} {n} \ $ desaparecerá, por lo que tenemos la igualdad entre las dos partes.
puede decir $$ \ overline {V} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ int_0 ^ nV (t) dt = \ lim_ {n '\ to \ infty} \ frac {1} {n '} \ sum_ {i = 1} ^ {n'} \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TV (t) dt = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TV (t) dt $$
donde $$ n = n '\; T $$ o $$ n' = \ frac {n} {T} $$ Así que puede dividir la Integral en la suma en cada periode, porque $$ V (t) = V ( t + T) $$
La fórmula que has indicado funciona de la siguiente manera: Usamos integral para calcular el área debajo de una línea dada, es decir, la función de voltaje en un intervalo de tiempo dado de 0 a T. Una vez que se calcula el área si está dividida por un lado, obtendremos el valor promedio. Si dividimos el área del voltaje con el tiempo total, obtendremos el voltaje promedio. (De una línea curva, obtenemos una línea constante, en el mismo intervalo de tiempo) Añadiré imágenes. Ejemplo: Supongamos que queremos calcular el voltaje promedio en la señal V = cos t para un período de tiempo dado de a a b
Porlotanto,tenemosqueintegrarlafunciónenelperíododeaab,calculandoeláreabajolafunción
Luegodividimoseláreacalculada,conlalongitudb-ayobtenemosotrovalordelongitudqueeselvalorpromedio
Luego,eláreadesdeelvalorpromedioyelintervalodetiempodebeserelmismoqueeláreadebajodelalíneadefunción
Otro ejemplo: Si queremos calcular el valor medio de los números 1,2,3,4,5. Tendríamos que sumarlas todas y luego dividirlas con 5 Tenemos (1 + 2 + 3 + 4 + 5) (1/5) = 3 En su ejemplo, reemplaza la suma 1 + 2 + ... con la integral y el número total de valores con (1/5) = (1 / t), luego obtiene el valor promedio que es 3 o Vavg También podemos ver que la suma de los valores 1 + 2 + 3 + 4 + 5 es siempre la misma irrelevante de la posición 5 + 1 + 2 + 3 + 4 = 15, lo mismo se aplica a la integración también, porque es La misma operación. Dada la función periódica 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5 ... siempre tendremos la misma suma durante el período de 5 números irrelevantes del número inicial. Entonces, para una función periódica dada con un período T, y la integración en el mismo período T siempre debemos obtener el mismo resultado. Si intentamos calcular la suma infinita de 0 a n y comenzamos a calcular 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 ... siempre sabremos los números utilizados y los dividiremos con la suma. Debemos obtener el valor promedio, porque tendremos n avgsum / n, que en realidad es solo el valor promedio.
Esto está en línea con el comentario de MITU anterior.
Digamos que quería saber cuánta energía consumió su casa durante su vida útil en promedio . Digamos que su vida es n años.
Supongamos que puede recordar una función que describe completamente la cantidad de energía instantánea que consumía durante esos años n . Desea agregar todos estos valores, que son infinitos en número ya que la función es continua en el tiempo.
Para agregar estos números, necesita la integral. Luego, divide la integral por el período de tiempo que le interesa, n , para obtener el promedio durante ese período. Esta es la definición del valor promedio de una función del cálculo. El límite al infinito es una extensión a considerar cuando el período de tiempo n va al infinito.
Entonces, finalmente, obtienes la cantidad de energía promedio consumida, por lo que aplicaste efectivamente el lado izquierdo de la ecuación.
Pero luego piensas que has configurado (de alguna manera) tu casa para consumir exactamente la misma energía cada año, de modo que cuando miras tu función nuevamente, observes que cada año la función se repite.
Como sabe que su función ahora se repite cada año, no hubo necesidad de usar TODOS los años para obtener su valor promedio. Puede obtener el mismo número considerando solo un año, que es el período T de su función. Este es el lado derecho de la ecuación.