Esto se puede hacer con un 556 timer IC (doble 555 en un solo paquete) , o dos 555 ICs.
Utilice el primer "555" del 556 (o un 555 individual) en una configuración de multivibrador biestable, como se describe en términos simples en este artículo y este otro .
EnlugardeutilizarlasalidaparacontrolarelLEDcomosemuestra,aliménteloalpinRSTdelsegundo555,quenormalmenteseconectaráalrieldesuministro.Configuraelsegundo555comoun multivibrador astable para que parpadee tu LED:
Cada vez que se presiona el botón, el pin de salida del primer multivibrador cambiará de estado, y la salida parpadeante del segundo multivibrador comenzará o se detendrá. No se necesitan microcontroladores.
Soy demasiado perezoso para dibujar un esquema combinado, pero lo anterior debería servir para este propósito.