¿La frecuencia fundamental afecta la velocidad de bits en un cable?

Desde un punto de vista teórico, la capacidad máxima de un canal afectado por AWGN Noise (ruido gaussiano aditivo gaussiano) está determinada por el teorema de Shannon-Hartley:

$$ C \ leq log_2 (1+ \ frac {S} {N_0B}) $$

Esto significa que no puede poner más que esa información en un canal con una banda (B = \ $ f_ {MAX} -f_ {MIN} \ $) sin hacer que la comunicación sea poco confiable.

Luego seguimos con las modulaciones: cada modulación tiene una eficiencia de espectro particular y una probabilidad de bits errónea. Más niveles que usa (QPSK vs 16-QAM, p.e.), más bits para cada símbolo (= más eficiencia) pero más símbolos erróneos (similar a la tasa de error de bits, con un código de gris).
El espectro está directamente relacionado con el impulso de conformación utilizado por la modulación. Uno muy común es el impulso coseno elevado (porque no tiene interferencia entre símbolos), que disminuye la eficiencia de un factor \ $ (1+ \ alpha) \ $

Nuevamente vamos a los códigos, que podrían dar una gran ganancia, especialmente al usar códigos concatenados como Reed-Solomon + Viterbi, al usar códigos Turbo o LDPC.

Se hacen todos los esfuerzos para acercarse al límite de capacidad de Shannon.

Considere un ejemplo extremo, una frecuencia base de 10 MHz, pero un pequeño ancho de banda, de 1 Hz. Todo lo que realmente puede hacer con este canal es emitir una onda sinusoidal de 10 MHz.

En respuesta, uno podría decir: "Pero puedo activar y desactivar esa onda sinusoidal para codificar mis ceros y mis", pero la velocidad a la que puede cambiar depende del ancho de banda. Después de todo, el pequeño ancho de banda sugiere una onda sinusoidal pura.

Si toma la onda sinusoidal de 10 MHz alternativamente con el silencio (para representar unos y ceros), luego aplique una Transformada de Fourier, que encontrará el contenido de frecuencia, notará que hay mucho más contenido de frecuencia. La capacidad de crear las transiciones nítidas requiere un mayor ancho de banda.

Finalmente, consideremos un ejemplo físico. Un ejemplo de un canal con un ancho de banda pequeño sería la resonancia. Cuando excites un resonador, empezará a sonar. Tan pronto como intentes apagarlo, continuará sonando y tardará mucho tiempo en descomponerse, lo que esencialmente evitará que transmitas un cero.

En realidad, esa es una mesa terrible; Por un lado, Tannenbaum se confunde acerca de si está hablando de bits o bytes. Por otra parte, todo el capítulo se escribió cuando los módems de 9600 bps eran bastante modernos, mucho antes de que los módems de 33,6 kbps se volvieran comunes.

Para una mejor discusión sobre la relación entre el ancho de banda, la relación señal-ruido y la capacidad del canal, consulte esta pregunta .

Parece que la tabla podría estar relacionada con información adicional proporcionada por el autor del libro. Lamentablemente no tengo este libro, por lo tanto, solo trataré de describir lo que entiendo de la tabla.

¿Qué sabemos del canal? Sabemos que su frecuencia de corte superior es de 3 kHz. También (debido a la ausencia de información sobre la frecuencia de corte más baja) podemos asumir que el canal puede transmitir hasta DC (0Hz).

Columna "T"

Ahora, queremos ver cuánto tiempo tomará transmitir 8 bits (1 byte) de datos a diferentes velocidades de bits. La ecuación es muy simple:

$$ T_ {byte} [sec] = \ frac {1} {Bps} * 8 $$

No debe haber nada confuso en esta columna: cuanto mayor sea la velocidad de bits, menor será el tiempo de transmisión.

Columna "Primer armónico"

También queremos saber cuál es la frecuencia más baja asociada con la transmisión de información en fragmentos de 8 bits a través del canal. La fórmula también es bastante sencilla en este caso:

$$ f_ {más bajo} [Hz] = \ frac {1} {T_ {byte}} * \ # ciclos \ _in \ _one \ _byte $$

¿Por qué esta frecuencia depende del número de ciclos? Compare el "patrón de conmutación" correspondiente al byte 10101010 con este correspondiente al byte 11001100. Es evidente que hay más transiciones de la señal en el primer byte. Un ciclo de una onda se define generalmente como un solo patrón de 10: el primer byte requiere 4 ciclos completos para poder ser transmitido, mientras que el segundo byte requiere solo dos (pero el período de la onda es dos veces más largo). Según la fórmula anterior, como el primer byte requiere que se transmitan dos veces más ciclos, la frecuencia correspondiente a este byte es dos veces mayor.

Suponiendo que la frecuencia más baja corresponde al byte 11110000 (que puede considerarse como una señal de ciclo único 10 que tiene un período más largo), podemos ver que hay un solo ciclo en este patrón, por lo que la fórmula se convierte en:

$$ f_ {más bajo} [Hz] = \ frac {1} {T_ {byte}} $$

"# Armónicos enviados" columna

Esta es la columna más confusa de la tabla, que requiere todo el contexto de la discusión en el libro para ser interpretada.

Mi conjetura es que el autor quiso demostrar que si usted utiliza solo la fracción de BW disponible, entonces puede usar el BW restante para la transmisión de datos. La técnica de partición de un solo canal físico en múltiples canales de transmisión se denomina multiplexación por división de frecuencia .

En el caso de FDM, la tasa de bits total se convierte en:

$$ Bps_ {total} = Bps_ {canal} * \ # Channels $$

Por ejemplo: si se comunica a 300 Bps, entonces (teóricamente, según el autor), podría asignar hasta 80 canales de transmisión dentro del BW inicial. Esto daría lugar a una tasa de bits total de \ $ Bps_ {total} (300) = 300 * 80 = 24000 \ frac {bits} {sec} \ $.

Si, por otro lado, transmite a 19200 Bps, entonces no podrá asignar el segundo canal que tenga la misma tasa de bits en el BW dado, por lo tanto, obtendrá una tasa de bits total de \ $ Bps_ {total} (19200) = 19200 \ frac {bits} {sec} \ $.

Puede ver que las velocidades de bits totales alcanzables tienen el mismo orden de magnitud, aunque las velocidades de bits para una transferencia de la información real difieren significativamente. Esto no es una coincidencia: la tasa de bits máxima de un canal físico depende de la BW, que es la misma en ambos casos (y puede verificar otras tasas de bits en la tabla que la tasa de bits total será aproximadamente la misma) ). Las diferencias en las tasas de bits totales para diferentes filas en la tabla surgen debido al hecho de que habrá diferentes porciones no utilizadas de la BW (el resto de la división de 3kHz por la frecuencia del primer armónico).

En resumen

Suponiendo que el autor del libro explicó la idea detrás de FDM en una etapa anterior del libro, esta tabla tiene mucho sentido y muestra que BW proporciona una medida de las tasas de datos alcanzables en el canal.

La velocidad de bits real a la que se transmiten los datos no es tan importante, porque siempre puede usar el BW restante y asignar canales de transmisión adicionales en él.

Nota: la discusión aquí es puramente teórica. La implementación real de los esquemas FDM puede ser abrumadoramente complicada y reducir el BW inicial (por ejemplo, introduciendo bandas de guarda).

Resumen : la primera afirmación probablemente se refiere al hecho de que la reconstrucción de funciones a partir de sus coeficientes de Fourier solo depende de (la cantidad y el valor de) los coeficientes de Fourier. El número de coeficientes de Fourier pasados en una transmisión determina y está determinado por el ancho de banda. Vale la pena señalar que los coeficientes de Fourier pasados en regiones con una frecuencia de inicio más alta se transmiten más rápidamente.

La respuesta completa a continuación probablemente sea demasiado remediadora, pero quería incluirla para que sea completa.

Respuesta completa : Para simplificar, asumiré que todas las funciones periódicas tienen un período que es un múltiplo entero de .5 Hz.

El análisis de Fourier para funciones periódicas da como resultado que cualquier función periódica p (t) se aproxima por la suma infinita $$ p (t) \ sim \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k \ cos (k \ pi t) + b_k \ sin (k \ pi t) $$ Los números $$ a_k, b_k \ in \ mathbb {R} $$ se denominan coeficientes de Fourier.

En la vida real no podemos trabajar con sumas infinitas, así que tenemos que limitar el número de frecuencias utilizadas para estimar p (t). Digamos que decidimos trabajar solo con frecuencias en [0,500 kHz] (el ancho de banda en la primera declaración). Así, en lugar de transmitir p (t) transmitiremos la estimación. $$ \ sum_ {k = 0} ^ {10 ^ 6-1} a_k \ cos (k \ pi t) + b_k \ sin (k \ pi t) $$ (nota 500kHz = 10 ^ 6 * .5 Hz).

Considere cuánta información realmente lleva esta transmisión. Solo lleva la información de los dos millones de coeficientes de Fourier. La función $$ \ sum_ {k = 10 ^ 6} ^ {2 * 10 ^ 6-1} a_ {k-10 ^ 6} \ cos (k \ pi t) + b_ {k-10 ^ 6} \ sin (k \ pi t) $$ también lleva la misma lista exacta de dos millones de coeficientes de Fourier. De esto se puede ver que el conjunto de todas las funciones construidas con frecuencias en [0,500 kHz) es igual al conjunto de todas las funciones construidas con frecuencias en [500 kHz, 1 MHz). Es decir, la frecuencia de inicio no importaba solo el rango de frecuencias disponibles, también conocido como el ancho de banda.

Por otra parte, toda la información del coeficiente de Fourier en la función $$ \ sum_ {k = 10 ^ 6} ^ {2 * 10 ^ 6-1} a_ {k-10 ^ 6} \ cos (k \ pi t) + b_ {k-10 ^ 6} \ sin (k \ pi t) $$ estará disponible después de observar la señal por 1 / 500,000 segundos = 2 microsegundos pero para la función $$ \ sum_ {k = 0} ^ {10 ^ 6-1} a_k \ cos (k \ pi t) + b_k \ sin (k \ pi t) $$ Tomará 2 segundos calcular todos los coeficientes de Fourier.