Transformada de Fourier y la función delta

Primero debe comprender que la propiedad crucial de la función delta es que elige un solo valor de una función cuando se integra

$$ \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) \ delta (x-a) \; dx = f (a) $$

Usando esta propiedad para calcular la transformada de Fourier inversa de PS \ pi \ left [\ delta (\ omega + \ omega_0) + \ delta (\ omega- \ omega_0) \ right] PS usted obtiene $$ \ frac 1 {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ pi \ left [\ delta (\ omega- \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0) \ right] e ^ {j \ omega t} d \ omega = \ frac 12 e ^ {j \ omega_0 t} + \ frac 12 e ^ {- j \ omega_0 t} = \ cos \ omega_0 t $$ Entonces, para obtener una cierta amplitud tienes que multiplicar la función delta por algún factor (peso), de lo contrario obtienes una amplitud de 1.

Dado que la amplitud de la función delta es infinito por definición, la altura se usa a menudo para indicar el peso.

La señal \ $ x (t) = \ cos (\ omega_0t) \ $ se puede escribir como

$$ x (t) = \ frac12 \ left (e ^ {j \ omega_0 t} + e ^ {- j \ omega_0t} \ right) \ tag {1} $$

Y la transformada de Fourier de \ $ e ^ {j \ omega_0t} \ $ es un impulso delta de Dirac:

$$ e ^ {j \ omega_0} \ Longleftrightarrow2 \ pi \ delta (\ omega- \ omega_0) \ tag {2} $$

Esto se puede ver considerando su transformada de Fourier inversa:

$$ \ mathcal {F} ^ {- 1} \ {\ delta (\ omega- \ omega_0) \} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } 2 \ pi \ delta (\ omega- \ omega_0) e ^ {j \ omega t} d \ omega = e ^ {j \ omega_0t} \ tag {3} $$

La última igualdad en (3) se desprende de esta importante propiedad del impulso delta de Dirac:

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ delta (t-a) dt = f (a) \ tag {4} $$

Entonces ves que un coseno no es la suma de dos señales de amplitud infinita. Es solo que la transformada de Fourier de las exponenciales complejas en (1) es un delta de Dirac.

Primero, asegurémonos de comprender la transformada de Fourier de un coseno. Comience con la identidad de Euler:

$$ e ^ {j \ omega t} = \ cos (\ omega t) + j \ sin (\ omega t) $$ $$ e ^ {j (- \ omega t)} = e ^ {- j \ omega t} = \ cos (- \ omega t) + j \ sin (- \ omega t) = \ cos (\ omega t) - j \ sin (\ omega t) $$

Si desea hacer un coseno a partir de exponenciales complejas, necesita deshacerse de los componentes del seno:

$$ \ frac 1 2 (e ^ {j \ omega t} + e ^ {- j \ omega t}) = \ frac 1 2 \ big (\ cos (\ omega t) + j \ sin (\ omega t) + \ cos (\ omega t) - j \ sin (\ omega t) \ big) = \ cos (\ omega t) $$

¿Por qué queremos preocuparnos por eso? ¡Porque las exponenciales complejas son la base del dominio de la frecuencia! Cada punto de la transformada de Fourier representa la magnitud y fase de un exponencial complejo único. Un coseno está formado por exactamente dos exponenciales complejos, por lo que esperamos que haya dos puntos distintos de cero en la transformada de Fourier. Eso es lo que son las funciones delta.

Matemáticamente, la función delta de Dirac es una cosa extraña. Se define solo por su integral:

$$ \ int_a ^ b {\ delta (x - c) dx} = \ begin {cases} 1, & a < c < b \\ 0, & \ text {de lo contrario} \ end {cases} $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {f (t) \ delta (x - c) dx} = f (c) $$

En otras palabras, hay un "pico" en \ $ x = c \ $, y el área debajo del "pico" es 1. Esta es una matemática descuidada, pero los matemáticos preferir no llamar a la función delta una función en absoluto , así que no nos obsesione demasiado con las formalidades . Tenemos bastantes problemas. :-)

Es bastante fácil ver cómo funciona la función delta con la transformada de Fourier inversa:

$$ x (t) = \ cos (\ omega_0 t) $$

$$ X (\ omega) = \ pi \ big (\ delta (\ omega - \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

$$ \ begin {align} \ mathcal {F} ^ {- 1} \ {X (\ omega) \} = & \ frac 1 {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega \\ &erio; = \ frac 1 {2 \ pi} \ big (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ pi \ delta (\ omega - \ omega_0) e ^ {j \ omega t} d \ omega + \ int_ { - \ infty} ^ {\ infty} \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) e ^ {j \ omega t} d \ omega \ big) \\ &erio; = \ frac 1 2 \ big (e ^ {j \ omega_0 t} + e ^ {- j \ omega_0 t} \ big) \\ &erio; = \ cos (\ omega_0 t) \ end {align} $$

¿Pero qué significa todo esto? Resulta que la transformada de Fourier es en realidad muy similar a tomar el producto punto de dos vectores. Los "vectores" en este caso son la función \ $ x (t) \ $ y el "vector unitario" \ $ e ^ {j \ omega t} \ $. Probablemente haya visto el producto de puntos definido de esta manera antes:

$$ \ overline A \ cdot \ overline B = \ sum_i A_iB_i = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $$

Si desea obtener un solo componente, debe marcar el vector con un vector unitario:

$$ \ overline A \ cdot \ hat k = A_z $$

Bueno, las matemáticas son mucho más complicadas, y tienes un número infinito de componentes ("dimensiones") en lugar de tres, pero de lo contrario eso es exactamente lo que está haciendo esta fórmula:

$$ X (\ omega_0) = \ overline {x (t)} \ cdot \ widehat {e ^ {j \ omega_0 t}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- j \ omega_0 t} dt $$

Cambiamos la suma a una integral, los vectores a funciones continuas y (por alguna razón) tomamos el complejo conjugado del segundo vector. ¡Maricón! Dot producto. Bastante limpio, ¿eh?

Entonces, ¿cómo haces la transformación inversa? ¡Multiplica cada componente por el vector unitario, luego agrégalos!

$$ \ overline A = \ sum_i A_i \ hat e_i = A_x \ hat i + A_y \ hat j + A_z \ hat k $$

$$ x (t) = \ sum_ \ omega X (w) \ widehat {e ^ {j \ omega t}} = \ frac 1 {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty X (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

Realizamos los mismos cambios que antes: suma a integral y vectores a funciones. El factor de \ $ 2 \ pi \ $ está ahí debido a las complejas exponenciales, pero no es importante.

En este contexto, una función delta de Dirac representa un componente único de una función. Como regla general, cuando va en continuo, comienza a trabajar con cantidades infinitesimales. Esto no es una excepción.

El delta- "función" de Dirac es interesante, porque trata con otra forma de infinito; y una que es difícil de comprender. Usted ve, no es una función en el sentido regular. Representa un límite de funciones. Una analogía sería \ $ \ pi \ $, que es el límite de cualquier aproximación válida del área de un círculo unitario.

Hay muchas formas de crear la función de Dirac. Una forma es definir una secuencia de funciones como esta:

$$ \ delta_k (t) = \ cases {k / 2, \; \ text {cuando $ | t | < \ frac {1} {k} $} \\ 0, \; \ text {de lo contrario }} $$

Puedes ver que \ $ \ delta_k \ $ es una función y que

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta_k dt = \ frac {k} {2} \ int _ {- 1 / k} ^ {1 / k} dt = \ frac {k} {2} \ cdot \ frac {2} {k} = 1 $$

para cada \ $ k \ $. Debido a esto, y debido a que \ $ \ delta_k (0) \ to \ infty \ $, como \ $ k \ to \ infty \ $ llamamos la "función" resultante de la función Delta de Dirac: $$ \ delta (t) = \ lim_ {k \ to \ infty} \ delta_k (t) $$

Una propiedad clara de una secuencia de funciones como la anterior es que: $$ \ lim_ {k \ to \ infty} \ int \ delta_k (t-t_0) f (t) dt = f (t_0), $$ siempre y cuando la función \ $ f \ $ sea razonablemente buena (todas las funciones continuas de soporte compacto). Usando la función generalizada de Dirac, podemos escribir esto como $$ \ int \ delta (t-t_0) f (t) dt = f (t_0), $$

Si te detienes a pensarlo, es una propiedad muy buena. Calcular una integral es difícil , pero aquí tienes una fórmula donde puedes omitirla y evaluar una función. Todo un triunfo en mi libro.

Pero la principal conclusión de todo esto es que, si bien la función delta de Dirac es infinita en 0, todavía tiene un área delimitada (la integral es una). Cuando vea la función de Dirac, piense en su cabeza que es el límite de una secuencia de funciones. En otras palabras, para que sea un cálculo "real", debe seleccionar un \ $ k \ $ arbitrariamente grande y usar \ $ \ delta_k \ $ en lugar de \ $ \ delta \ $.