¿Por qué el voltaje promedio en un inductor ideal es cero?

Las respuestas correctas ya fueron dadas. Como complemento, intentaré dar una derivación matemática formal.

Para empezar, puede integrar ambos lados de la ecuación para obtener una fórmula para la corriente a través de un inductor en el momento \ $ t \ $:

$$ V (t) = L \ frac {\ mathrm {d} I (t)} {\ mathrm {d} t} \ implica \ int_0 ^ t V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = LI (t) \ implica I (t) = \ frac {1} {L} \ int_0 ^ t V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau $$ aquí asumimos que \ $ I (0) = 0 \ $, de lo contrario agregue \ $ I (0) \ $ a la expresión para \ $ I (t) \ $.

"El voltaje promedio en un inductor ideal siempre es cero" en realidad significa que el voltaje promedio durante un período es cero (de lo contrario, no tiene sentido imponer tal condición). Es decir, aquí asumimos que el voltaje a través de un inductor es periódico.

Suponga que el voltaje a través de un inductor es una función periódica con el período \ $ T \ $. "Es periódico con el período \ $ T \ $" es solo otra manera de decir que \ $ V (t) = V (t + T) \ $ para cualquier \ $ t \ $.

Calculemos los períodos actuales posteriores a \ $ n \ $, es decir, cuando \ $ t = nT \ $ (\ $ n \ $ es un número entero):

$$ I (nT) = I (\ underbrace {T + T + \ dots + T} _ {\ text {n times}}) = \ frac {1} {L} \ int_0 ^ {\ underbrace {T + T + \ dots + T} _ {\ text {n times}}} V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau $ $

Aquí podemos usar la propiedad de una integral \ $ \ int_0 ^ {x + y} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int_0 ^ xf (t) \, \ mathrm {d} t + \ int_x ^ yf (t) \, \ mathrm {d} t \ $ para dividir la integral en una suma:

$$ \ begin {split} I (nT) & = \ frac {1} {L} \ left ( \ underbrace { \ int_0 ^ T V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau + \ int_T ^ {2T} V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau + \ puntos + \ int _ {(n-1) T} ^ {nT} V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau } _ {\ text {n veces}} \Correcto)\\ & = n \ cdot \ frac {1} {L} \ int_0 ^ TV (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau \ quad \ text {porque} V (\ tau) \ text {es periódico con el período } T \\ & = n \ cdot I (T) \ end {split} $$

Desde esta expresión puede ver que si la integral durante todo un período $$ I (T) = \ frac {1} {L} \ int_0 ^ T V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau $$ no es cero, luego de \ $ n \ $ períodos la corriente a través de un inductor será n veces mayor: $$ \ en caja {I (nT) = n \ cdot I (T)} $$ Como \ $ n \ $ va al infinito, también lo hace el actual.

Por lo tanto, la única forma de evitar que la corriente se vaya al infinito es la condición \ $ I (T) = 0 \ $, que es equivalente a $$ \ int_0 ^ T V (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = 0 $$ porque \ $ \ frac {1} {L} \ $ es solo un factor constante. Solo para recordarle, \ $ T \ $ es el período del voltaje. El límite inferior de integración es \ $ t = 0 \ $. El "tiempo cero" puede ser un instante de tiempo elegido arbitrariamente, porque el proceso es periódico.

El voltaje promedio en un inductor ideal es cero, al igual que la corriente promedio en un capacitor ideal es siempre cero. Si no fuera una corriente promedio de cero para un capacitor, se cargaría a infinitos voltios. Si no fuera de un promedio de voltios para un inductor, se necesitarían infinitos amperios.

Piense en lo que sucedería cuando el promedio (componente de CC) del voltaje en un inductor no fuera cero. La corriente se acumularía linealmente. Para un inductor ideal, esto continuaría mientras se aplicara el voltaje, y la corriente podría llegar a ser arbitrariamente grande.

Los inductores reales tienen cierta resistencia, que se puede considerar como en serie con la inductancia pura. Eventualmente, la corriente alcanzará un estado estable donde toda la tensión se encuentra en esta resistencia. Incluso en inductores reales, esa resistencia puede ser pequeña, por lo que las corrientes resultantes de un voltaje aplicado constante serían grandes.

porque la corriente a través de un inductor ideal es proporcional a la integral de tiempo del voltaje que ve

y si el voltaje promedio no es cero, la integral de tiempo es infinita.

de modo que cuando se usan inductores ideales para modelar problemas del mundo real, la corriente es finita y el voltaje promedio (en todo momento) es cero.

en experimentos mentales, esta regla puede ignorarse, pero no obtendrás resultados que sean aplicables al mundo real.

La resistencia de CC de un inductor ideal es cero. Si una corriente de CC fluye a través de ella, el voltaje resultante a través del inductor es cero. El voltaje promedio es el componente de CC del voltaje.

El hecho de que el inductor puro promedio sea cero puede comprobarse a partir de la ecuación.

$$ V = L \ cdot \ dfrac {d} {dt} I $$

Podemos hacer esto considerando qué corriente estaría fluyendo de otra manera.

$$ I = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} V \ text {d} t $$

a partir de esto, no importa cuán pequeño sea \ $ V \ $, aparte de 0V, entonces el \ $ I \ $ actual eventualmente se volverá infinito, lo que claramente es imposible.

Esto no significa que nunca puedas medir un voltaje promedio diferente a cero en un inductor, pero eso se debe a que todos los inductores reales tienen resistencia en serie.

Un argumento similar explica por qué la corriente promedio en un capacitor debe ser cero.

Esta respuesta es esencialmente la que dan Andy y otros, excepto por mi notación matemática adicional.