Función de transferencia para una combinación de filtros

Ok, comencemos con esto.

Lamentablemente, no puedes analizar las dos mitades del circuito por separado, pero creo que hay una manera rápida de calcular al menos los polos de tu función de transferencia.

En primer lugar, puede dividir R5 y C2 y conectar la entrada a ambos, esto siempre es válido. Ahora bien, si pudiera ignorar el hecho de que los dos circuitos están acoplados, resolver el circuito es bastante fácil:

la rama superior es un filtro de paso bajo, cero infinito más polo finito ... donde este polo no es tan fácil de calcular.

la rama inferior es un paso alto, un cero en el origen y un polo finito, de nuevo, calcular la frecuencia correcta de este polo es bastante difícil.

Hay un cierto método llamado Método Cochrun-Grabel que le permite calcular de manera precisa las frecuencias de los polos.

En primer lugar, lo que buscamos es una función genérica de segundo orden:

$$ a_0 + a_1s + a_2s ^ 2 $$

Lo primero que debe hacer es establecer \ $ a_0 = 1 \ $. Siempre puedes hacer eso, estamos buscando dos polos (dos números) después de todo.

Para el segundo coeficiente:

$$ a_1 = C_1R_ {11} ^ 0 + C_2R_ {22} ^ 0 $$

donde \ $ R_ {ii} ^ 0 \ $ es la resistencia vista desde el condensador \ $ i \ $ con todos los demás casquillos ABIERTOS. En nuestro caso: $$ R_ {11} ^ 0 = R_5 // (R_1 + R_2 + R_3) \\ R_ {22} ^ 0 = R_4 + (R_3 // (R_1 + R_2 + R_5)) $$

Para el tercer coeficiente:

$$ a_2 = R_ {11} ^ 0R_ {22} ^ 1C_1C_2 $$

donde \ $ R_ {ii} ^ j \ $ es la resistencia vista desde el condensador \ $ i \ $ con el condensador \ $ j \ $ en corto y todos los demás condensadores abiertos. Algunas inspecciones más:

$$ R_ {22} ^ 1 = R_4 + (R_3 // (R_1 + R_2) $$

De ahora en adelante es solo matemática básica (y tediosa). Tenga en cuenta que \ $ x // y \ triangleq \ frac {xy} {x + y} \ $ es el operador 'paralelo'. También te habrás dado cuenta de que solo \ $ R_1 + R_2 \ $ aparece arriba de \ $ t \ $ no estará en tu denominador, pero esto es perfectamente correcto . Los polos de una red no dependen de dónde tome la salida sino de la red en sí. Cambiar el valor de \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $ no cambia la red.

Desafortunadamente, tus ceros serán mucho más difíciles de encontrar. Si desea calcularlos, la única forma es resolver la red con armas pesadas o ver algo inteligente al respecto.

addendum
Hice un poco de matemáticas del sobre:

mientras que el polo de 288Hz se ve bien, el de 1kHz parece bastante malo a juzgar por la simulación de gsills. Probablemente cometí un error tonto (confío en el simulador más que yo, al menos para este tipo de circuito).

La forma fácil de resolver esto es, como se ha mencionado en los comentarios, es agregar amplificadores de búfer en cada rama antes de la salida del potenciómetro (R1, R2).

La forma difícil, que en realidad no es tan difícil ya que terminan siendo 3 nodos, es escribir las ecuaciones de los nodos y resolver para Vout / Vin. Si los nodos se definen como:

1. Unión de Vin y R5.

2. Unión de R5, C1 y R1.

3. Unión de R4 + Zc2, R3 y R2.

4. Unión de R1 y R2.

Solo los nodos 2, 3 y 4 necesitan ecuaciones ya que el nodo 1 está definido por Vin. Luego, las ecuaciones de los nodos son, después de cambiar R1 a \ $ \ alpha \ $ Rpot, y R2 a \ $ (1- \ alpha) \ $ Rpot:

• 0 == (v2 - v4) / (\ $ \ alpha \ $ Rpot) + v2 / zc1 + (v2 - Vin) / R5
• 0 == (v3 - Vin) / (R4 + zc2) + (v3 - v4) / (\ $ (1- \ alpha) \ $ Rpot) + v3 / R3
• 0 == (v4 - v2) / (\ $ \ alpha \ $ Rpot) + (v4 - v3) / (\ $ (1- \ alpha) \ $ Rpot)
• También, recuerde que zc1 = 1 / (s C1) y zc2 = 1 / (s C2)

Ahora, solo resuelve las 3 ecuaciones simultáneas para v4 (igual que Vout) y divide por Vin, y esa será la función de transferencia.

Aquí hay un diagrama de Bode de la respuesta con los valores listados si \ $ \ alpha \ $ = 0.615:

Si trabajas a través de las ecuaciones nodales, obtendrías:

Vout / Vin = \ $ \ frac {\ alpha \ text {C1} \ text {C2} \ text {R3} \ text {R5} \ text {Rpot} s ^ 2 + \ text {C2} s ( (1- \ alpha) \ text {R4} \ text {Rpot} + \ text {R3} (\ text {R4} + \ text {R5} + \ text {Rpot})) + (1- \ alpha) \ text {Rpot} + \ text {R3}} {\ text {C1} \ text {C2} \ text {R5} s ^ 2 (\ text {R3} (\ text {R4} + \ text {Rpot}) + \ text {R4} \ text {Rpot}) + s (\ text {C1} \ text {R5} (\ text {R3} + \ text {Rpot}) + \ text {C2} (\ text {R3} ( \ text {R4} + \ text {R5} + \ text {Rpot}) + \ text {R4} (\ text {R5} + \ text {Rpot}))) + \ text {R3} + \ text {R5 } + \ text {Rpot}} \ $

Como Vladimir mostró en su respuesta, los polos están a 288Hz y 1014Hz. Mucho más interesantes son los ceros y su dependencia de \ $ \ alpha \ $. Cuando \ $ \ alpha \ $ = 0 hay un cero en ~ 804Hz y un cero en el infinito. Así que parece que hay una respuesta de un solo polo. El polo a 1kHz ha sido cubierto principalmente por el cero.

A medida que \ $ \ alpha \ $ aumenta a aproximadamente 0.14, los ceros convergen en ~ 1480Hz, donde se dividen y se vuelven complejos. Finalmente, en \ $ \ alpha \ $ ~ 1 los ceros complejos terminan en ~ 290Hz.

Este problema necesita solo dos nodos y, por lo tanto, dos ecuaciones simultáneas para resolver. Dado que Vout es una salida y no una fuente, y también como estamos resolviendo Vout / Vin, podemos considerar las ecuaciones de nodo solo en X e Y, donde X es la unión de R5 / C1 / R1 e Y es la unión de R4 / R3 / R2. También tenga en cuenta que R5 = R3.

Primero, simplifica un poco la notación: vamos a G1 = 1 / sC1, G2 = R4 + 1 / sC2 y R = (R1 + R2).

Ahora escribe las ecuaciones de nodo para X e Y:

Nodo X: (X-Vin) / R3 + X / G1 + (X-Y) / R = 0

Nodo Y: (Y-Vin) / G2 + Y / R3 + (Y-X) / R = 0

Resuelve las dos ecuaciones simultáneas para X e Y en términos de Vin, dando:

X = A.Vin; Y = B.Vin, donde A y B son funciones de R4, G1, R, G2, R3.

{Como ejemplo, B viene dado por lo siguiente, pero tenga en cuenta que no he revisado el álgebra dos veces:

B = [R.R3.G1.G2 + R.R3 (R.R3 + R.G2 + R3.G2)] / [(R.G1 + R.R3 + R3.G1) (R.R3 + R.G2 + R3.G2) - G1.G2.R3 ^ 2]}

Ahora, permítame ser actual de X a Y a R, luego I = (X-Y) / R y Vout es:

Vout = X-R1.I = X - R1 (X-Y) / R

O simplemente Vout = X- (X-Y) t, ya que R1 / (R1 + R2) = t

Finalmente, Vout = Vin (A-At + Bt), o Vout / Vin = (A-At + Bt) = [A (1-t) + Bt]

Esta es mi conjetura, esto sería mucho álgebra:

El circuito es bastante complejo de resolver a pesar de una aparente simplicidad. Este chico tiene dos polos y dos ceros. A diferencia de lo que se ha dicho en las respuestas anteriores, puede dividir el circuito en dos partes. Supongamos que \ $ V_ {in} \ $ se divide en dos fuentes \ $ V_ {in1} \ $ y \ $ V_ {in2} \ $ que sesgan respectivamente los terminales izquierdos de \ $ R_5 \ $ y \ $ C_2 \ $. La superposición se aplica aquí. Establezca \ $ V_ {in2} \ $ en 0 V y determine \ $ V_ {out1} \ $ con \ $ V_ {in1} \ $ vivo, luego configure \ $ V_ {in1} \ $ en 0 V y determine \ $ V_ {out2} \ $ con \ $ V_ {in2} \ $ vivo. Suma las dos respuestas y has completado la función de transferencia en un formato en bruto feo:

\ $ Z_1 (s) = (\ frac {1} {sC_2} + R_4) || R_3 + R_2 \ $

\ $ Z_2 (s) = R_1 + Z_1 (s) \ $

\ $ Z_3 (s) = R_1 + \ frac {1} {sC_1} || R_5 \ $

\ $ H_ {ref} (s) = \ frac {Z_2 (s) || \ frac {1} {sC_1}} {Z_2 (s) || \ frac {1} {sC_1} + R_5} \ frac {Z_1 (s)} {Z_1 (s) + R_1} + \ frac {R_3 || (Z_3 (s) + R_2)} {R_3 || (Z_3 (s) + R_2) + R_4 + \ frac {1} {sC_2}} \ frac {Z_3 (s)} {Z_3 (s) + R_2} \ $

La segunda opción es utilizar las Técnicas de Circuitos Analíticos Rápidos o FACTs para analizar este circuito. Comenzamos con \ $ s = 0 \ $, abriendo todas las mayúsculas. Las funciones de transferencia en este modo son

\ $ H_0 (s) = \ frac {R_2 + R_3} {R_2 + R_3 + R_1 + R_5} = 0.432 \ $ para \ $ t = 0.615 \ $

Luego, determine la resistencia "vista" de cada una de las mayúsculas cuando la fuente de entrada se reduzca a 0 V: ¿qué resistencia ve desde \ $ C_1 \ $ terminales cuando \ $ C_2 \ $ está abierto y viceversa? alrededor. Dibuje pequeños bocetos de estas configuraciones para obtener las siguientes constantes de tiempo:

\ $ \ tau_1 = C_1 (R_5 || (R_1 + R_2 + R_3) \ $

\ $ \ tau_2 = C_2 ((R_5 + R_1 + R_2) || R_3 + R_4) \ $

Luego, reemplace \ $ C_1 \ $ por un cortocircuito (establecido en su estado de alta frecuencia) y determine la resistencia vista desde los terminales \ $ C_2 \ $. Deberías encontrar

\ $ \ tau_ {12} = C_2 ((R_1 + R_2) || R_3 + R_4) \ $

Esto es, tienes el denominador:

\ $ D (s) = 1 + s (\ tau_1 + \ tau_2) + s ^ 2 (\ tau_1 \ tau_ {12}) \ $

Ahora, para determinar los dos ceros, tiene dos opciones: reutilizar las constantes de tiempo ya determinadas para el denominador, pero necesita obtener varias ganancias simples cuando los elementos de almacenamiento de energía se establecen en su estado de alta frecuencia. Esta opción lo lleva al resultado, pero los coeficientes pueden ser altos. La opción más eficiente es la inyección doble nula o NDI: la fuente de entrada está nuevamente en su lugar y usted determina la resistencia vista de cada capacitor (como hicimos con \ $ D (s) \ $) cuando el nodo de salida está anulado. Si haces eso, deberías obtener:

\ $ \ tau_ {1N} = C_1 * 0 \ $

\ $ \ tau_ {2N} = (R_4 + \ frac {R_1R_3} {R_2 + R_3} + R_2 || R_3 + \ frac {R_3R_5} {R_2 + R_3}) C_2 \ $

\ $ \ tau_ {21N} = (\ frac {R_1R_3R_5} {R_1R_3 + R_2R_3 + R_2R_4 + R_3R_4 + R_3R_5}) C_1 \ $

Esto es, tienes el numerador:

\ $ N (s) = 1 + s (\ tau_ {1N} + \ tau_ {2N}) + s ^ 2 (\ tau_ {2N} \ tau_ {21N}) \ $

Ahora, puede trazar la función de transferencia expresada en un formato de baja entropía

\ $ H (s) = H_0 \ frac {N (s)} {D (s)} \ $

y verifique con Mathcad que la función de transferencia sin formato \ $ H_ {ref} (s) \ $ y la expresión anterior \ $ H (s) \ $ conducen a la misma respuesta exacta en magnitud y fase.

Ahora, ¿podemos revelar fácilmente polos y ceros individuales? Podríamos reformatear D y N para colocar en cascada los polos y ceros individuales, pero el factor de calidad en \ $ D \ $ y \ $ N \ $ es menor que 1, lo que nos prohíbe aplicar la aproximación baja - \ $ Q \ $. Por ejemplo, con \ $ t = 0.615 \ $, \ $ Q_N = 0.904 \ $ y \ $ Q_D = 0.415 \ $. Sin embargo, si intenta calcular polos y ceros equivalentes con los valores de los componentes dados y \ $ t = 0.615 \ $, entonces tiene \ $ f_ {z1} = 489 \, Hz \ $ y \ $ f_ {z2} = 599 \, Hz \ $ luego \ $ f_ {p1} = 224 \, Hz \ $ y \ $ f_ {p2} = 1.3 \, kHz \ $ pero la respuesta es aproximada.

Si le interesan los FACT, consulte esta presentación impartida en APEC en 2016, esta es una introducción fluida a la técnica:

enlace

No dude en consultar el archivo de Mathcad si desea verificar estos resultados.

Haz un análisis cualitativo

Este circuito combina las salidas de un RC HPF y RC LPF. Ninguno de ellos puede causar un cambio de fase completo de 90 grados (retraso para LPF y cable para HPF) Por lo tanto, la cancelación total en alguna frecuencia es imposible. Pero hay exixsts una muesca. El potenciómetro seguramente cambia esa muesca de alguna manera, pero también afecta su profundidad.

No juegues más con las fórmulas que tienen una carga asesina de términos tanto en el nominador como en el denominador. John Von Neumann y sus colegas seguramente podrían "sentir" la ganancia exacta y el cambio de fase con diferentes valores de t, pero los ordinarios lo hacemos mucho mejor haciendo la simulación numérica de CA que tiene t como variable.

OFFTOPIC: Este circuito (= filtro de muesca en T doble) se ha utilizado (con t fijo) en los osciladores de la frecuencia de audio como parte de la ruta de realimentación debido a su pronunciada curva en la curva de respuesta de fase cerca de la frecuencia de ganancia mínima. Esto hace que la oscilación sea posible solo en una frecuencia bien definida.

El circuito con el pot también se ha visto en amplificadores de bajo y guitarra. El potenciómetro se podría usar para matar algunos intensos impulsos de frecuencia de sonido que eran comunes en los primeros amplificadores, altavoces e instrumentos.