Para el circuito anterior, me preguntaba cómo derivaron la fórmula
$$ \ omega_0 = \ sqrt {\ dfrac {1} {LC} - \ Big (\ dfrac {R} {L} \ Big) ^ 2} $$
Si alguien es capaz de explicarme esto, sería fantástico.
Para el circuito anterior, me preguntaba cómo derivaron la fórmula
$$ \ omega_0 = \ sqrt {\ dfrac {1} {LC} - \ Big (\ dfrac {R} {L} \ Big) ^ 2} $$
Si alguien es capaz de explicarme esto, sería fantástico.
La impedancia es \ $ \ dfrac {R + j \ omega L} {R + j \ omega L + \ frac {1} {j \ omega C}} \ cdot \ dfrac {1} {j \ omega C} \ $ = \ $ \ dfrac {R + j \ omega L} {j \ omega RC + j ^ 2 \ omega ^ 2 LC +1} \ $ = \ $ \ dfrac {R + j \ omega L} {j \ omega RC - \ omega ^ 2 LC +1} \ $
Si tuviera que multiplicar tanto el numerador como el denominador por el complejo conjugado del denominador, obtendría una ecuación compleja en la parte superior y una ecuación no compleja (real) en la parte inferior. La resonancia es cuando la parte imaginaria del nuevo numerador es igual a cero, por lo que, trabajando solo en el nuevo numerador, obtenemos: -
Nuevo numerador = \ $ (R + j \ omega L) \ cdot (-j \ omega RC - \ omega ^ 2 LC +1) \ $
La parte imaginaria se reduce a \ $ j (\ omega L - \ omega ^ 3 L ^ 2 C - \ omega C R ^ 2) \ $
Igualando esto a cero obtenemos, \ $ \ omega L - \ omega ^ 3 L ^ 2 C - \ omega C R ^ 2 = 0 \ $
Por lo tanto, \ $ \ omega ^ 2 L ^ 2 C = L - CR ^ 2 \ $ y \ $ \ omega ^ 2 = \ dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {L ^ 2} \ $
EDITAR sección que describe otras "resonancias"
También es interesante notar que hay otra resonancia en juego. En primer lugar, la "resonancia" anterior se define porque la impedancia que mira a la red LCR es puramente resistiva; esto es ligeramente diferente a la frecuencia de resonancia "natural" (también puramente resistiva) cuando se ignora R.
En esta situación \ $ \ omega = \ sqrt {\ dfrac {1} {LC}} \ $
Sin embargo, el pico real de la respuesta (como se vería en un analizador de espectro y no puramente resistivo) se encuentra al igualar el denominador a cero y al resolver s donde s = j \ $ \ omega \ $.
\ $ s ^ 2LC + sRC + 1 = 0 \ $ o
\ $ s ^ 2 + s \ frac {R} {L} + \ frac {1} {LC} = 0 \ $
Usando la solución general a un cuadrático, obtenemos: -
\ $ s = \ dfrac {- \ frac {R} {L} +/- \ sqrt {\ frac {R ^ 2} {L ^ 2} - \ frac {4} {LC}}} {2 } \ $
Si usamos un truco para revertir los signos dentro de la parte de la raíz cuadrada y sacar la raíz cuadrada de -1 (j), obtenemos: -
\ $ s = \ dfrac {- \ frac {R} {L} +/- j \ sqrt {\ frac {4} {LC} - \ frac {R ^ 2} {L ^ 2}}} { 2} \ $
Ahora, divida a través de dos y obtenemos: -
\ $ s = - \ frac {R} {2L} +/- j \ sqrt {\ frac {1} {LC} - \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ $
Como deberíamos saber, la parte "jw" es lo que vemos en un gráfico de Bode, por lo que la magnitud máxima de la respuesta (no cuando la impedancia es puramente resistiva) es cuando: -
\ $ \ omega = \ sqrt {\ dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ $
Si dibujó un diagrama de polo cero, las partes imaginarias de los polos se encontrarían en
+/- \ $ \ sqrt {\ dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ $ es decir, ligeramente diferente a +/- \ $ \ sqrt {\ dfrac { 1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {L ^ 2}} \ $
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