BJT, resistencia y diodo funcionan pero ULN2803 no

De la foto parece que conectaste el 2803 correctamente, pero la ruta de las bobinas del relé a través de los diodos de retorno del 2803 es un poco larga. Para comprobar si este es su problema, puede probar con una fuente de 5 V separada para los relés o con diodos de retorno directamente a través de las bobinas del relé.

Una línea larga es efecitivamente una resistencia (pequeña) en serie con un inductor (pequeña). (En realidad, también hay un condensador, y si necesita ser preciso, hay una gran cadena de resistencias, inductores y condensadores). Muchas veces puede ignorarlos, pero en este caso puede haber grandes picos de corriente que provoquen picos de voltaje, que pueden afectar a su microcontrolador.

Si tiene la oportunidad, use relés de 12V, alimentados con una verruga de 12V, y use un 7805 o similar para alimentar su microcontrolador.

Parece que tiene su ULN2803 cableado incorrectamente.

Aquí está el pinout de la hoja de datos:

YaquíhayundarlingtonindividualdelIC:

Puede ver que no hay un pin Vcc, porque las salidas son colector abierto . Esto significa que usted conecta su carga (bobina de relé) entre la salida y Vcc. Esto es lo mismo que habrías hecho con tu configuración de BJT.

Puede usar un diodo para protegerse contra el retroceso inductivo como con el transistor único, pero el ULN2803 tiene diodos integrados para este propósito que puede usar en su lugar. Los diodos están conectados a cada salida, y el pin COM es la conexión de cátodo común para estos diodos (de modo que puede conectar esto al Vcc para colocar el diodo a través de la bobina del relé)

Efectivamente, cada salida debería tener un aspecto similar a esto cuando se configura correctamente:

La entrada puede ser activada directamente desde la micro salida (la micro estaría donde el DS89C4x0 está en el diagrama) o usar un drenaje abierto con resistencia pullup como en el circuito de arriba. Observe cómo el pin COM está conectado a + 5V para colocar el diodo interno a través de la bobina del relé.

EDITAR - Observo que ha editado su pregunta para cambiar el + 5V del pin 18 al pin 10 - Supongo que este fue un error tipográfico y fue así para comenzar.
En este caso, y a juzgar por la imagen, aparece que las cosas están conectadas correctamente como lo menciona Russell.
Es difícil saber qué podría estar causando su problema sin más datos. ¿Qué quiere decir cuando dice que se ejecuta durante 5 segundos? ¿Qué está haciendo durante este tiempo? ¿Con qué frecuencia cambian los relés? ¿Qué están cambiando? ¿Lo que se está cambiando comparte líneas eléctricas con el micro? Si tiene un alcance, entonces publicar una captura de los resultados del ULN2803 y la línea de + 5V probablemente ayudaría.

Tu foto se ve correcta.
 Asegúrate de que todas las conexiones de la placa de prueba estén en contacto.

Pruebe los diodos inversos directamente a través de las bobinas del relé.

Conecte el cable + ve al bus superior y luego al pin 10 directamente al pin 10
 (y o verifique el pin 10 con el medidor para asegurarse de que esté alto.

Un cable de tierra a 2803 salidas debería operar relés
 (Se puede hacer como está sin dañar a IC).

Una entrada A + a 2803 entradas debe operar los relés, desconecte primero el control remoto.