Frecuencia de resonancia

Su cálculo de la impedancia vista por la fuente es correcto.

Claramente, hay una frecuencia "especial" (angular)

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

donde hay un polo en la impedancia, la impedancia va hasta el infinito.

Ahora, veamos el dual del circuito dado:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Para el circuito dual, la impedancia vista por la fuente es

$$ Z = R || (j \ omega L + \ frac {1} {j \ omega C}) = R \ frac {1 - \ omega ^ 2LC} {1 - \ omega ^ 2LC + j \ omega RC} $$

y ahora tenemos un cero en \ $ \ omega_0 \ $ - la impedancia va a cero.

En ambos casos, el polo o el cero están en el eje \ $ j \ omega \ $. En general, no lo son.

  

entonces, ¿cómo encuentras la resonancia en general?

En este contexto (RLC), la frecuencia de resonancia es la frecuencia en la que la impedancia del inductor y el capacitor son iguales en magnitud y opuestas en signo.

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Del artículo de Wikipedia "RLC circuit", " Frecuencia natural " sección:

  

La frecuencia de resonancia se define en términos de la impedancia presentada   a una fuente de conducción. Todavía es posible que el circuito continúe.   oscilante (durante un tiempo) después de que se haya eliminado la fuente de conducción o   está sujeto a un paso en voltaje (incluido un paso hacia abajo a cero).   Esto es similar a la forma en que un diapasón continuará sonando   después de haber sido golpeado, y el efecto a menudo se llama timbre. Esto   El efecto es el pico de la frecuencia de resonancia natural del circuito y en   el general no es exactamente el mismo que la frecuencia de resonancia controlada,   aunque los dos estarán generalmente muy cerca uno del otro. Varios   Los términos son utilizados por diferentes autores para distinguir los dos, pero   frecuencia de resonancia no calificada por lo general significa la resonancia dirigida   frecuencia. La frecuencia controlada puede denominarse resonancia no amortiguada.   Frecuencia o frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia pico puede ser   llamada frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada.   La razón de esta terminología es que la frecuencia de resonancia conducida   en una serie o circuito resonante paralelo tiene el valor 1

     

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

     

Esto es exactamente igual a la frecuencia de resonancia de un circuito LC,   es decir, uno sin resistencia presente, es decir, es lo mismo que un   Circuito en el que no hay amortiguación, por lo tanto resonancia no amortiguada.   frecuencia. La frecuencia de resonancia pico, por otro lado, depende de   El valor de la resistencia y se describe como la resonancia amortiguada.   frecuencia. Un circuito altamente amortiguado no resuena en absoluto cuando   no conducido Un circuito con un valor de resistencia que hace que sea   justo en el borde del timbre se llama amortiguado críticamente. Cualquier lado   de amortiguado crítico se describen como "no entallados" (ocurre el sonido del timbre)   y sobredimensionado (se suprime el timbre).

     

Circuitos con topologías más complejas que las series simples o   paralelo (algunos ejemplos descritos más adelante en el artículo) tienen una   frecuencia de resonancia que se desvía de \ $ \ omega_0 = \ frac  {1} {\ sqrt {LC}} \ $ y para aquellos con la frecuencia de resonancia no amortiguada, amortiguada   La frecuencia de resonancia y la frecuencia de resonancia controlada pueden ser todas   diferente.

Consulte la sección " Otras configuraciones " para su segundo circuito.

En resumen, las frecuencias a las que la impedancia es real, a las que la impedancia es estacionaria (máxima o mínima) y a las que las reactancias de L & C son iguales pueden ser iguales o diferentes y cada uno es algún tipo de frecuencia de resonancia.

La frecuencia de resonancia será segura

\ $ \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ [rad / s]

o

\ $ f = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} \ $ [Hz]

Tu fórmula para Z debe estar equivocada. Deberías terminar con algo como esto:

La impedancia es:

\ $ Z (\ omega) = -j \ frac {\ omega L} {\ omega ^ {2} LC-1} + R \ $

Tal vez olvide números complejos, debería ser más fácil con las reactancias \ $ Xl \ $ y \ $ Xc \ $. Podemos hacerlo porque consideramos esto como una bobina y un condensador ideales (los ángulos vectoriales son -90 y +90).

La resonancia ocurre cuando \ $ Xl = Xc \ $. Los vectores de impedancia para la bobina ideal y el condensador son opuestos, por lo que se restan y eso hace que el vector de impedancia sea igual a cero.

\ $ Xc = \ frac {1} {2 \ pi {fC}} \ $

\ $ Xl = {2 \ pi {fL}} \ $

así que necesito encontrar f aquí:

\ $ {2 \ pi {fL}} = \ frac {1} {2 \ pi {fC}} \ $

con omega será más fácil

\ $ {\ omega {L}} = \ frac {1} {\ omega {C}} \ $

\ $ {\ omega {L}} * {\ omega {C}} = 1 \ $

\ $ {\ omega \ omega {LC}} = 1 \ $ (no tengo idea de cómo hacer poder aquí)

... (Voy a resumir esto, esta sintaxis no es amigable para transformar fórmulas "sobre la marcha"

\ $ \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ [rad / s]

He hecho una foto para comprender mejor la resonancia:

Entonces, si la resonancia ocurre - en el circuito LC ideal hipotético no hay pérdidas de potencia en la reactancia. La energía fluye de la bobina (campo magnético) al condensador (campo eléctrico) y fluye hacia adelante y hacia atrás con la frecuencia de resonancia.

En la vida real algunas pérdidas térmicas causadas por la corriente en los devanados de bobina. En el condensador, algunos campos eléctricos se descargan por la resistencia entre los electrodos del condensador. Estas pérdidas no afectan la frecuencia de resonancia, pero existen otras pérdidas parasitarias (inductancia en el condensador, capacidad en la bobina, etc.), cambios en la capacidad y la inductancia debidos a los cambios en el entorno (temperatura, permeabilidad magnética del vecindario de la bobina y pueden cambiar la frecuencia de resonancia un poco) .

La razón por la que está teniendo problemas es porque configurar la parte imaginaria de la impedancia a cero para encontrar la frecuencia de resonancia solo funciona para los circuitos de la serie rlc. Para circuitos paralelos, si hay resistencia en el circuito, la resonancia ocurre cuando la impedancia es máxima , y la resonancia ocurre cuando la admitancia tiene cero parte imaginaria.

Cuando tiene un inductor ideal y un capacitor ideal en paralelo, la frecuencia angular resonante es simplemente \ $ \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $. Cuando hay resistencia en serie con el inductor o el condensador, es como si estos componentes no fueran ideales y la ecuación anterior ya no da la frecuencia de amplitud máxima.

Derivaste esto correctamente: -

\ $ Z = = R + \ dfrac {j \ omega L} {1- \ omega ^ 2 LC} \ $

¿Qué condición surgiría para que la impedancia sea infinita?

Solo puede ser cuando el denominador es igual a cero, por lo tanto: -

\ $ 1- \ omega ^ 2 LC \ $ = 0 y reorganizando, \ $ \ omega = \ dfrac {1} {\ sqrt {LC}} \ $

Para la segunda parte de la pregunta (inductor no ideal) tiene una fórmula para omega cuando la impedancia del circuito RLC es puramente real, es decir, no hay una parte imaginaria de la impedancia. Intentaré probar que: -

Z = \ $ \ dfrac {R + j \ omega L} {1 + j \ omega CR - \ omega ^ 2LC} \ $.

Necesitas hacer que el denominador sea real multiplicando la parte superior e inferior con el complejo conjugado del denominador. Entonces puedes ignorar el denominador porque es real. El numerador se convierte en: -

\ $ (R + j \ omega L) \ cdot (1-j \ omega CR - \ omega ^ 2LC) \ $ - note que el término \ $ j \ omega CR \ $ ahora es negativo.

Al multiplicarse obtenemos: -

\ $ R - j \ omega CR ^ 2 - \ omega ^ 2 LCR + j \ omega L -j ^ 2 \ omega ^ 2 LCR - j \ omega ^ 3 L ^ 2C \ $

Ahora, iguala las partes imaginarias a cero: -

\ $ 0 = - \ omega CR ^ 2 + \ omega L - \ omega ^ 3 L ^ 2 C \ $ y se divide a través de omega para obtener

\ $ \ omega ^ 2 L ^ 2 C + CR ^ 2 = L \ $ y por lo tanto

\ $ \ omega ^ 2 = \ dfrac {L} {L ^ 2 C} - \ dfrac {CR ^ 2} {L ^ 2 C} \ $ que significa \ $ \ omega = \ sqrt {\ dfrac { 1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {L ^ 2}} \ $

Si tuviera que calcular dónde está el polo (independientemente de la complejidad de la impedancia, es más simple, debe igualar el denominador a cero y usar la solución a una ecuación cuadrática para encontrar el valor del complejo. El denominador es:

\ $ s ^ 2 + s \ dfrac {R} {L} + \ dfrac {1} {LC} \ $

Por lo tanto, s = \ $ \ dfrac {- \ dfrac {R} {L}} {2} +/- \ sqrt {\ dfrac {R ^ 2} {4L ^ 2} - \ dfrac {1} {LC }} \ $

Para obtener la naturaleza compleja de s, niega la parte debajo del signo de la raíz cuadrada y saca \ $ \ sqrt {-1} \ $ afuera para formar el operador "j": -

\ $ j \ omega = +/- j \ sqrt {\ dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ $

Esta segunda parte de la ecuación está en el eje jw y representa donde estaría la coordenada del polo a lo largo de ese eje. La primera parte de la ecuación anterior es la parte real de s en el diagrama de polo cero.

Conclusión: hay dos frecuencias importantes en el caso del inductor con pérdida de resonancia paralela con un condensador: cómo aprendes a pasar de A a B. A veces es una batalla real y solo tienes que profundizar un poco más. Yo digo que hay dos frecuencias, pero de hecho hay otra que es importante: el punto de reducción de 3dB, pero no voy a ir allí hoy.

Este es un circuito en el que el LC "antiresonates": en alguna frecuencia, la impedancia combinada es infinita (o en un circuito práctico, al menos máximo). Esta configuración se usa para sintonizar la radio AM y en cualquier otro lugar, como se ha señalado, la función de transferencia se convierte en 1 a la frecuencia de resonancia.

Tuve el mismo problema con la frecuencia de resonancia. Cuando le pregunté a alguien sobre un método general para encontrar la frecuencia de resonancia de un cirquit, se me dijo que usara la función de transferencia en lugar de la impedancia a través del circuito.

Si queremos usar la función de transferencia, necesitamos 4 nodos (2 para la entrada y 2 para la salida). Esto tiene sentido, porque el desplazamiento de fase de una señal es igual a cero en la resonancia y el desplazamiento de fase de una señal no se puede evaluar a menos que se conozca la señal original y la señal desplazada (salida).

Ahora que tengo una señal / impedancia de entrada y salida, puedo encontrar la parte imaginaria de mi función de transferencia y establecerla en cero. Después de configurar la parte imaginaria de la función de transferencia a cero, solo resuelvo para omega, y resulta que este método funciona para el filtro de paso de banda que se publicó en la pregunta original.

Unavezmás,intuitivamentetienesentidoquelaparteimaginariadelafuncióndetransferenciaseestablezcaenceroporquelafuncióndetransferenciacomparalaentradaconlasalidadeuncircuito.

SidefinoU_outdeestamanera:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Efectivamente, acabamos de convertir el problema original (sin una función de transferencia) en un problema con una función de transferencia. Claramente, esto no es un filtro de paso de banda, en todo caso es un filtro de parada de banda.

En este problema, puedo mostrar que la función de transferencia es igual a la impedancia del circuito original: $$ U_ {out} = U_ {in} \ cdot (R + (Z_L || Z_C)) \ Rightarrow H (\ omega) = \ frac {U_ {out}} {U_ {in}} = R + (Z_L || Z_C) = Z_ {ofTheFirstCircuit} $$

de modo que siempre que la frecuencia de resonancia de este nuevo circuito sea la frecuencia de resonancia deseada, debería ser seguro realizar el cálculo con la impedancia en lugar de con la función de transferencia. Lo mejor es seguir la función de transferencia y asegurarse de que

Como siempre, al final esto siempre se aplica: $$ \ phi = arctan (\ frac {Im (Z)} {Re (Z)}) \ Rightarrow Im (Z) = 0, \ phi = 0 $$ Donde Z es la función de transferencia (independientemente de si es igual a la impedancia o no).

Espero que esto resuelva nuestro problema. Todavía no lo he probado en ningún otro circuito, así que no puedo garantizar que siempre funcione, pero por ahora estoy contento con este método y no veo ninguna situación en la que no funcione.

Nota:

$$ Donde \: \ omega \ ne \ infty $$

En este caso no hay cambio de fase.

Dado que en el circuito paralelo, la parte imaginaria de la admitancia debe ser cero, no la de la impedancia ... que se requiere para un valor máximo de voltaje. Mientras que la corriente debe ser máxima en el circuito resonante en serie para un valor constante de voltaje ... así que aquí la parte imaginaria de 'impedancia debería ser cero'.