números complejos en circuitos lineales

  

Por otro lado, dividimos números complejos entre sí

Eso es cierto. La impedancia de un elemento del circuito es la tensión del fasor dividida por la corriente del fasor

$$ Z = \ frac {\ vec V} {\ vec I} $$

Pero tenga en cuenta que la impedancia es no un fasor, no representa la amplitud y la fase de un sinusoide como los fasores de tensión y corriente.

De manera similar, la potencia compleja es el producto de la tensión del fasor (rms) y la corriente del fasor conjugada (rms)

$$ S = \ tilde V \ cdot \ tilde I ^ * $$

Y nuevamente, el poder complejo no es un fasor, es solo un número complejo.

Este hecho es que los productos y las proporciones de los fasores no son fasores. Por lo tanto, no podemos aplicar el análisis de fasores a circuitos no lineales.

Por ejemplo, deje que la tensión de un elemento del circuito sea proporcional al cuadrado actual:

$$ v = ki ^ 2 $$

Si la corriente es una sinusoide de frecuencia \ $ \ omega \ $, el voltaje es una constante más una sinusoide de frecuencia \ $ 2 \ omega \ $.

$$ v = k (I \ cos \ omega t) ^ 2 = \ frac {kI ^ 2} {2} (1 + \ cos2 \ omega t) $$

Pero, para el análisis de fasores, dependemos del hecho de que todos los voltajes y corrientes de los circuitos son de la misma forma, es decir, son sinusoides de la misma frecuencia, que solo difieren en amplitud y fase .

Además, como se señaló anteriormente, el cuadrado de un fasor no es un fasor, por lo que no podemos cuadrar el fasor actual y esperar obtener un fasor de voltaje.

Puedes representar una señal de CA pura $$ \ begin {eqnarray *}  v (t) = V \ cos (\ omega t + \ theta) \ end {eqnarray *} $$ usando la formula de Euler $$ \ begin {eqnarray *} e ^ {jx} = \ cos x + j \ sin x \ end {eqnarray *} $$  por la parte real
$$ \ begin {eqnarray *}  v (t) = real (V (\ cos (\ omega t + \ theta) + j \ sin (\ omega t + \ theta)) \\   = real (V e ^ {j (\ omega t + \ theta)}) \ end {eqnarray *} $$ La representación fasorica de \ $ v (t) \ $ asume un valor de \ $ \ omega \ $ que nos permite escribir $$ \ begin {eqnarray *}  v_ {phasor} = V e ^ {j \ theta} \ end {eqnarray *} $$

La función de un circuito lineal \ $ f \ $ se puede representar mediante una ganancia y un cambio de fase dados

$$ \ begin {eqnarray} f (v (t)) = F V \ cos (\ omega t + \ theta + \ phi) \\   = real (F V (\ cos (\ omega t + \ theta + \ phi) + j \ sin (\ omega t + \ theta + \ phi)) \\   = real (F V e ^ {j (\ omega t + \ theta + \ phi)}) \\   = real (V e ^ {j (\ omega t + \ theta)} e ^ {j \ phi}) \\   = real (A V e ^ {j (\ omega t + \ theta)}) \ end {eqnarray} $$ donde \ $ A = F e ^ {j \ phi} \ $ es una ganancia compleja para el circuito, el efecto del circuito en el tiempo en que varía la tensión es el mismo que para calcular el producto de la ganancia en la representación del fasor.

Por lo tanto, se puede ver que para un circuito lineal, debido a que la forma de onda variable en el tiempo resultante es solo una de \ $ \ prod G. V \ cos (\ omega t + \ sum \ phi + \ theta) \ $ términos tiene una representación de fasor válida.

Si en lugar de una función lineal tenemos una función no lineal \ $ q \ $, como \ $ q (u) = u ^ 2 \ $: $$ \ begin {eqnarray} q (v (t)) = V ^ 2 \ cos ^ 2 (\ omega t + \ theta) \\   = V ^ 2 \ frac {1+ \ cos 2 (\ omega t + \ theta)} {2} \\   = real (\ frac {V ^ 2} {2} (1+ e ^ {j (2 \ omega t + 2 \ theta)}))) \\   = \ frac {V ^ 2} {2} + real (\ frac {V ^ 2} {2} e ^ {j (2 \ omega t + 2 \ theta)}) \\ \ end {eqnarray} $$

Ahora ya no tenemos una forma de onda que es una función de cos y sine \ $ \ omega t \ $, pero tiene DC y AC en \ $ 2 \ omega t \ $. Debido a que la frecuencia de esta forma de onda es diferente a la asumida por el fasor original, no existe una ecuación fasor que pueda unirlas: la representación del fasor simplifica las ecuaciones al eliminar la variación común de $ $ / omega t, y esto solo funciona si tiene la misma frecuencia para cada valor en la ecuación.

Si puede dividir su sistema en sub-bloques lineales, entonces puede usar los fasores dentro de cada bloque, teniendo cuidado de convertir la frecuencia en cada función no lineal, pero solo si tiene sinusoides puros en cada etapa. Otras funciones no lineales darán como resultado que se produzcan otras frecuencias o formas de onda no sinusoidales. Es posible que estos estén representados por una FFT compleja, y si eso se alimenta a un sistema lineal, entonces cada parte de la FFT se puede analizar utilizando un análisis de fasor.

Pero las relaciones de fasor simple no funcionarán una vez que tengas la no linealidad, ya que toda la no linealidad distorsiona la sinusoide, y cualquier distorsión introduce frecuencias adicionales, rompiendo el supuesto central de la representación del fasor.

La razón por la que los números complejos aparecen cuando se hacen solo cálculos lineales es porque los cálculos involucran matrices. Todos los sistemas de ecuaciones corresponden a las ecuaciones matriciales y y todas las ecuaciones matriciales corresponden a los sistemas de ecuaciones.

Ahora, si ha tomado un curso de álgebra lineal, debería haber encontrado la noción de un cambio de base. Esencialmente, le permite darse cuenta de que había una opción en la forma en que escribió su sistema de ecuaciones y podría haber escrito otro sistema de ecuaciones que describa la misma situación física.

Lo que sería genial es si a través de una reorganización inteligente de nuestro sistema de ecuaciones terminamos con una matriz diagonal de la forma $$ \ begin {bmatrix} \ lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \ lambda_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \ lambda_n \\ \ end {bmatrix} $$ Porque entendemos soluciones a cualquier sistema de ecuaciones donde esta matriz es la matriz de coeficientes. Eso es sistemas de ecuaciones equivalentes a $$ \ begin {eqnarray *} \ lambda_1 x_1 & = & a_1 \\ \ lambda_2 x_2 & = & a_2 \\ ... & = & ... \\ \ lambda_n x_n & = & un\\ \ end {eqnarray *} $$

que obviamente tiene la solución \ $ x_k = \ frac {a_k} {\ lambda_k} \ $ siempre que \ $ \ lambda_k \ neq 0 \ $.

Ahora bien, esto no es posible hablando estrictamente sin la noción de eigenspaces generalizados debido a matrices incorrectas como $$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}. $$

Sin embargo, a veces funciona. Considera la matriz $$ \ begin {bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \ end {bmatrix} $$ se convierte en $$ \ begin {bmatrix} j & 0 \\ 0 & -j \\ \ end {bmatrix} $$ después de un cambio inteligente de base.

Esto no es solo un uso tonto de \ $ j \ $ por el simple hecho de usar \ $ j \ $. Si desea escribir esta matriz en forma diagonal, debe incluir el número imaginario \ $ j \ $.

Más concretamente, esto dice que el sistema de ecuaciones con coeficientes reales $$ - x + 2y = a $$ $$ - x + y = b $$ Es el mismo que el sistema de ecuaciones con coeficientes complejos. $$ jx = a '$$ $$ - jy = b '. $$

El segundo sistema es claramente mucho más fácil de resolver que el primero, pero a costa de involucrar a \ $ j \ $.

Aunque dije que esto no funciona exactamente de esta manera en general, incluso en el caso más general, todavía necesitarás considerar números complejos.

Editar: Otros usuarios han mencionado el cambio de fase / análisis de fase. Los números complejos en el cambio de fase provienen de este mismo hecho. Si considera el espacio vectorial bidimensional abarcado por \ $ \ cos (t) \ $ y \ $ \ sin (t) \ $ entonces la representación matricial del operador lineal de cambio de fase de 90 grados \ $ f (t) \ mapsto f (t + \ pi / 2) \ $ viene dado por la matriz $$ \ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$ que no es diagonal pero es equivalente a la matriz diagonal $$ \ begin {bmatrix} j & 0 \\ 0 & -j \\ \ end {bmatrix}. $$

Esta es la razón por la que los números complejos aparecen en el análisis del circuito de CA.