¿Por qué necesitamos transformaciones (Fourier, Laplace, Z y wavelet, etc.) para analizar una señal?

No, las transformaciones no son "necesarias", pero hacen que algunos tipos de cálculos sean mucho más simples y convenientes.

Es posible realizar todos los cálculos y análisis de una señal en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, algunas operaciones son mucho más simples e intuitivas en una que en otra.

Esto se puede ilustrar con algo tan simple como un filtro de paso bajo R-C. Si está en la entrada de una señal que está midiendo, entonces es posible que desee saber cuánto tiempo de demora se agrega para que el resultado se asiente dentro de algún error de la señal de entrada. Esto se hace mejor en el dominio del tiempo escribiendo la ecuación de la señal de salida en respuesta a una entrada de pasos unitarios. Esto podría hacerse en el espacio de frecuencia, pero sería bastante complicado, y tendría que expresar algunas de las cosas que usted sabe inherentemente en el dominio del tiempo en el espacio de frecuencia.

Por otra parte, si se trata de una aplicación de audio, es posible que desee saber cómo el filtro afecta la amplitud de diferentes frecuencias. Esto se hace de manera más fácil e intuitiva al expresar el filtro en el espacio de frecuencia. La respuesta a cualquier entrada sinusoidal particular podría calcularse en el dominio del tiempo, pero tomaría mucho más cálculo y no sería tan intuitiva.

En resumen, tanto el dominio del tiempo como el espacio de frecuencia son formas integrales y consistentes de ver una señal, pero cada una proporciona diferentes perspectivas intuitivas, y cada una dificulta o dificulta diferentes tipos de problemas.

Todas las transformaciones son herramientas para facilitar el análisis. Son herramientas que los ingenieros, científicos y matemáticos han desarrollado a lo largo de los años para ayudarles a hacer su trabajo más fácil o para ayudarlos a comprender mejor el fenómeno que están observando. La transformada de Laplace, por ejemplo, facilita la resolución de ecuaciones diferenciales. La transformada wavelet le ayuda a analizar los dominios de frecuencia y tiempo al mismo tiempo. Creo que la palabra que usaste, "práctico", es clave. Estas transformaciones se utilizan para tomar problemas engorrosos y hacerlos más prácticos.

Hay algunos casos en los que la frecuencia es directamente importante, como la comunicación por radio y la reproducción de audio. Pero en general, las transformadas de Laplace y Fourier son agradables porque convierten ciertas operaciones matemáticas difíciles en más fáciles:

Diferenciación - > Multiplicar por s

Integración - > Dividir por s

Convolución de dos funciones de respuesta - > Multiplicación de dos funciones de transferencia

El último en particular es muy importante para lidiar con el control de retroalimentación, tanto que las transformaciones de Laplace se utilizan incluso cuando se habla de fenómenos en el dominio del tiempo, como las respuestas a pasos. Esto es aplicable a muchas áreas de la ingeniería, no solo al análisis de señales.

Las transformaciones son útiles porque facilitan la comprensión del problema en un dominio que en otro. Estoy seguro de que puedes hacerlo en cualquier dominio, pero será mucho más complejo.

Piensa en un filtro. ¿Qué hace un filtro? Piense en lo difícil que sería explicarle a alguien o analizar el circuito en el dominio del tiempo.

A veces, es más fácil trabajar con un dominio que con el otro. Puedes resolver un RLC en el dominio del tiempo, pero será una ecuación diferencial de segundo orden. Absolutamente puede resolverlo usando cálculo y tomar la derivada de esto y aquello. O puede transformarlo en el dominio S (transformada de Laplace) y resolver el circuito con un álgebra simple y luego convertir sus resultados del dominio S nuevamente en el dominio de tiempo (transformada de Laplace inversa).

Algunos dominios son solo el equivalente digital, como el dominio Z al dominio S

Las transformaciones (Fourier, Laplace) se utilizan en el dominio de control automático de frecuencia para probar cosas como la estabilidad y la capacidad de mando de los sistemas.

Estas transformaciones se adoptan principalmente para resolver ecuaciones diferenciales bajo diferentes condiciones de límites o puede llamar límites. Para Laplace u puede ir por límites positivos hasta infinitos, pero en el caso de Fourier, los límites pueden ser de menos a más infinitos. Además, el kernal también varía para ambas funciones, ya que contiene iota en exponencial de kernals de Fourier mientras que no en Laplace.