¿Cómo sabemos que existen corrientes de bucle?

Las corrientes de bucle existen porque las definimos matemáticamente para que existan.

Hay ciertas cosas que tomamos como axiomáticas en el análisis de circuitos: que los componentes (resistencias, condensadores e inductores) son lineales, que la corriente total en un nodo de circuito debe ser cero y que la tensión alrededor de un bucle completo debe sumarse hasta cero.

El hecho de que los componentes sean lineales nos da el principio de superposición: la respuesta de un componente se puede dividir en partes; estas partes se pueden analizar de forma independiente y luego se combinan al final para dar la respuesta general.

El análisis de bucles es solo una forma de dividir la corriente a través de un componente en partes que son más fáciles de analizar. En general, la corriente en cualquier bucle particular no se puede medir directamente, es solo una abstracción matemática. Pero si usamos esa abstracción de la manera correcta, nos dice cosas útiles sobre el circuito en general.

No, las corrientes de bucle no existen.

Un componente entre dos nodos, como una resistencia, transporta una corriente única y concreta, por ejemplo, 1.0A.

Podemos pretender que este 1.0A es en realidad la combinación de dos corrientes, digamos 1.5A - 0.5A. Esto es solo un truco algebraico para ayudarnos a simplificar y equilibrar algunas ecuaciones.

¿Cómo sabemos que estas corrientes no existen?

Si existieran, crearían una disipación de energía adicional. Si 1.5A fluye a través de un componente puramente resistivo, independientemente de otro -0.5A fluye a través del mismo resistor, cada una de estas dos corrientes debe disipar \ $ I ^ 2R \ $ W de calor, que es mayor que la disipación de una sola corriente de 1.0A.

Pero este no es el caso: la disipación de potencia es consistente con 1.0A que fluye a través de ese componente. En otras palabras, las corrientes de los componentes que se suman al total no son "reales" en la vista de la situación basada en la energía, que no podemos ignorar si queremos una imagen completa.

No importa la vista de energía; Tampoco podemos medir estas corrientes componentes. Un amperímetro interpuesto en esa rama del circuito producirá un solo valor: 1.0A. El -0.5A y el 1.5A no pueden ser observados, mientras que el total de 1.0A puede ser observado. Lo que es observable es "más real" en cierto sentido que lo que no lo es, especialmente si la cantidad se postuló por conveniencia algebraica y no se cree que sea una entidad real.

Lo que justifica el truco algebraico es que la matemática funciona: no se rompe ninguna regla algebraica, y no hay un uso injustificado de estas corrientes, como cuadrar sus valores dentro de los cálculos de vataje.

Intentaré darte una respuesta basada en cómo la visualizo, algo que trato de hacer cada vez que una respuesta algebraica se siente insatisfactoria. Es lo más informal posible, pero creo que ayuda a comprender cómo es posible (y correcto) reducir tantas corrientes de ramificación a las mucho menos corrientes de malla.

Imagina un nodo con 4 ramas saliendo de él. Cada rama lleva un \ $ i_ {k} \ $ actual "real". Ahora visualícelo en 3D colocando cada rama a una altura igual a su corriente:

Porconveniencia,lascorrientespositivas(alturas)salendelnodo.Dadoquelasumadelascorrientesescero,entonceslasumadelasalturastambiénescero.

Porotrolado,lascorrientesdemallaseríancomoedificios/bloques,porqueeselmismocomponenteactualencadabucle/panelmásinterno:

Dado que cada "panel" comparte cualquier lado dado con su vecino, entonces la distancia vertical entre edificios debe ser igual a la corriente de rama "real". Por lo tanto, los edificios están "bloqueados" verticalmente entre sí, y la diferencia de altura es la corriente de rama.

Sielgrupodeedificiosalrededordeunnodosemiradesdearriba:

Y cada uno está "bloqueado" verticalmente entre sí, puede atravesar las condiciones de bloqueo: 1 > > 2 > > 3 > > 4, y la altura resultante del panel 4 debe coincidir mágicamente con el camino alternativo 1 > > 4.

La magia proviene del hecho preestablecido de que la suma de las corrientes (o "alturas") de las ramas que salen del nodo central es cero. Cualquiera que sea la altitud ganada en el camino, debe devolverse al final. Los edificios de bucle equivalentes a las corrientes originales serían los siguientes:

Por lo tanto, los bloqueos de altura son autoconsistentes, pero la altura total puede tener, en este punto, cualquier valor, siempre que las diferencias sean iguales a las corrientes de la rama (puede empujar hacia arriba o hacia abajo el grupo de edificios como un todo y aún ser consistente).

La solución única se logra gracias a los bordes más externos del circuito, donde no hay vecinos, y la corriente de malla es igual a la corriente de ramificación. También puede considerar que el vecino más externo que se encuentra fuera del límite del circuito tiene una altura cero conocida. Esta condición de contorno hace que la solución sea única.

Básicamente, estoy diciendo que DEBIDO a que las corrientes de un nodo suman cero, es posible asignar corrientes de malla equivalentes. Si viola esto y asigna cualquier corriente a cualquier rama, NO sería posible usar corrientes de malla para representar el mismo sistema.

También puede llegar a la misma conclusión si se imagina un circuito plano grande y se supone que es posible expresarlo como corrientes de malla. Se comienza con el borde exterior, ya que las corrientes de malla son iguales a las corrientes de rama. Todos los vecinos son consistentes debido a su simple relación de corrientes en el borde. Luego se abre camino hacia adentro, siendo cada corriente de malla la diferencia entre la corriente de rama y la corriente de malla vecina externa ya asignada. Todo funciona hasta el último bucle.

  

No entiendo por qué este paso siempre es válido. Como sabemos alli   Existen algunos Ia, Ib, Ic y Id que cumplen con el sistema anterior de   ecuaciones?

Una prueba de la validez del análisis de la corriente de malla se puede encontrar en la sección 12.2, "La topología de los complejos unidimensionales", del capítulo 12, "La teoría de las redes eléctricas", en el segundo libro de " un curso de matemáticas para estudiantes de física ". Algo de esto está disponible en

Hasta ahora, la mayoría de las respuestas son correctas, pero tal vez no alcancen tu obstáculo particular. Así que aquí hay otro intento :-).

Primero, creo que probablemente ya te sientas cómodo con dos puntos:

1. La suma de las corrientes dentro y fuera de un nodo particular (punto de unión) es cero. Toda la corriente en un nodo debe coincidir con la corriente de un nodo, ya que un nodo en sí mismo no puede absorber ni producir ninguna otra corriente. Esto es "KCL", pero espero que esto sea intuitivamente obvio.

2. Las "corrientes de bucle" que se dibujan para estos cálculos no representan corrientes separadas distinguibles que realmente fluyen en un círculo en la dirección de la flecha. Esto es simplemente un dispositivo de contabilidad para calcular corrientes reales en varias ramas atribuibles a cada ruta cerrada en la red. Dicho esto, para una rama que es miembro de dos bucles, la afirmación es que la corriente real es la suma de las dos corrientes de bucle. Pero ¿por qué?

Tal vez pueda avanzar un poco si procede de afuera hacia adentro, de la siguiente manera:

Su figura de ejemplo de cuatro bucles ya hace que cada bucle se convierta en sinónimo de una u otra de las corrientes de borde exterior (o su negativo).

iA = i1
iB = i3
iC = -i6
iD = -i8

Ahora puede mirar cada uno de los nodos en el borde exterior, como el nodo (1). Aquí, por KCL,

i1 = i2 + i3. But i1 = iA, and i3 = iB, so we get
iA = i2 + iB, or 
i2 = iA - iB.

Y lo mismo para los otros tres nodos en los bordes exteriores. Y un KCL más en el nodo (3) que involucra la corriente en las 4 etapas. Este sencillo sistema de ecuaciones puede resolverse, dado un conjunto de valores para los componentes y las fuentes.

Estas ecuaciones son todas como están escritas en tu lista de ecuaciones. Tenga en cuenta que no logramos suponiendo que el "procedimiento de bucle actual" es verdadero. Llegamos allí simplemente escribiendo KCL para cada nodo.

Realmente, la principal utilidad de las "corrientes de bucle" es dar nombres de variables a sumas y / o direcciones particulares (en el sentido de las agujas del reloj), para que sea más fácil evitar errores al ensamblar muchas ecuaciones de suma de corrientes de nodos individuales . (Especialmente en mallas más complicadas que su ejemplo). La idea de las corrientes de bucle no se basa en ningún fenómeno más allá de KCL.

Podríamos resolver el sistema perfectamente sin confiar en el ayudante mental de las corrientes de bucle (es decir, utilizando solo las corrientes numeradas y KCL). Pero, a falta de la convención de bucles en el sentido de las agujas del reloj, con una malla grande, rápidamente se confunde con respecto a la dirección actual y el signo en cada nodo.

Espero que ayude a algunos!

Parte A: Teoría

Las corrientes, los números, las unidades, los adjetivos, las operaciones matemáticas como "+", las ecuaciones, la dirección y el tiempo (por nombrar algunos) no existen en el mismo sentido en que existen las cervezas y los burros. Sin embargo, son herramientas mentales inventadas por la humanidad para ayudarnos a comprender el universo.

Los números reales son un pequeño subconjunto de ideas matemáticas, que utilizamos para expresar cantidades (la cantidad de algo). Las unidades son para los números como los adjetivos son para los sustantivos (sólo se definen más rígidamente). Una corriente es solo un número real con una unidad (llamada así por André-Marie Ampère), que expresa la cantidad de carga (en poder de los electrones) que se mueve a través de un volumen específico (o área o línea) durante un tiempo determinado. La corriente aún no existe existe como su multímetro existe.

Las corrientes de bucle no son diferentes. Una corriente de bucle es simplemente una parte imaginaria de una suma. Cualquier número real (como una corriente) puede expresarse como una suma finita (e incluso a veces infinita) de otros números reales. Por lo tanto, el hecho de que las corrientes se puedan escribir como la suma de las corrientes de bucle se deriva directamente del cierre de los números reales bajo suma ( enlace ).

Parte B: Práctica

Mira el circuito en tu pregunta. Comience en i1, que es una corriente conocida (número real). Siga el circuito en dirección a i1. La corriente se divide en el nodo 1. Una parte de ella (un número real llamado i2) pasa por R1, y otra (un número real llamado i3) pasa por R2. Entonces i1 = i2 + i3 (Eq1). Si observa las dos ramas superiores del circuito (los 'brazos' izquierdo y derecho del nodo 1), verá que la única corriente de bucle que fluye allí es iA a la izquierda y iB a la derecha. Por lo tanto, i1 = iA y i3 = iB. Sustituyendo esto en Eq1, y resolviendo i2, obtenemos: i2 = i1 - i3 = iA - iB. Puedes probar esto para cada rama en el circuito. El análisis de bucle se mantiene mientras KCL y KVL se mantengan (como usted dijo, cuando no hay contradicciones en el circuito).

La respuesta de Dave Tweed es correcta, pero quizás ayude a pensar en ello de manera diferente.

La corriente es un flujo de carga (generalmente electrones). Se puede hacer una analogía con el flujo de agua a través de una tubería. Aparte de los efectos extraños, la cantidad de agua que fluye en la tubería siempre será igual a la cantidad que sale de ella. Si tuviéramos un circuito cerrado de tuberías, con una bomba que obliga a que el agua fluya en el circuito (su fuente de alimentación), lo mismo también sería cierto: el flujo de agua en cada parte del circuito será el mismo. Si no fuera cierto, entonces sabríamos que hubo una fuga en algún lugar del sistema (que es donde se rompe la analogía).