La mayoría de la gente conoce la fórmula para la resistencia total de resistencias paralelas:
\ $ \ dfrac {1} {R_t} = \ dfrac {1} {R_1} + \ dfrac {1} {R_2} + {} ... {} + \ dfrac {1} {R_n} \ $
Si solo hay 2 resistencias, se pueden reorganizar fácilmente para resolver R t :
\ $ {R_t} = \ dfrac {(R_1 \ cdot R_2)} {(R_1 + R_2)} \ $
¿Hay una forma segura de hacerlo para las resistencias n ?
Por supuesto que sí, pero no se ve bonito. Haga que los divisores sean iguales y agregue los términos. por tres resistencias obtienes
\ $ \ dfrac {R2 \ cdot R3} {R1 \ cdot R2 \ cdot R3} + \ dfrac {R1 \ cdot R3} {R1 \ cdot R2 \ cdot R3} + \ dfrac {R1 \ cdot R2} { R1 \ cdot R2 \ cdot R3} \ $
\ $ = \ dfrac {(R2 \ cdot R3) + (R1 \ cdot R3) + (R1 \ cdot R2)} {R1 \ cdot R2 \ cdot R3} \ $
ahora haga el \ $ \ dfrac {1} {n} \ $ y obtendrá:
\ $ \ dfrac {R1 \ cdot R2 \ cdot R3} {(R2 \ cdot R3) + (R1 \ cdot R3) + (R1 \ cdot R2)} \ $
La línea superior es fácil, es el producto (multiplicación) de todas las resistencias. El resultado final es la suma de los productos de todas las combinaciones de dejar-uno-fuera. Para dos que se reduce a la fórmula bonita:
\ $ \ dfrac {(R1 \ cdot R2)} {(R1 + R2)} \ $
Sí, lo es, pero la representación más fácil y compacta es la
$$ {1 \ sobre R_t} = \ sum_ {i = 1} ^ n {1 \ sobre R_i} = {1 \ sobre R_1} + \ dots + {1 \ sobre R_n} $$
ya has mencionado. Para ver el patrón, puede hacer las matemáticas usted mismo para 3 resistencias:
$$ {1 \ over R_t} = {1 \ over R_1} + {1 \ over R_2} + {1 \ over R_3} $$
Realice la primera adición utilizando el método habitual :
$$ {1 \ over R_t} = {R_1 + R_2 \ over R_1R_2} + {1 \ over R_3} $$
Luego haz la segunda adición, usando el mismo método:
$$ {1 \ over R_t} = {R_1R_2 + R_2R_3 + R_1R_3 \ over R_1R_2R_3} $$
Resuelto para \ $ R_t \ $:
$$ {R_t} = {R_1R_2R_3 \ sobre R_1R_2 + R_2R_3 + R_1R_3} $$
Como puede ver, el denominador es la suma de los productos de "cada uno con cada" valor de resistencia , que es más complicado de escribir que solo
$$ {1 \ over R_t} = {1 \ over R_1} + {1 \ over R_2} + {1 \ over R_3} $$
Esta no es una respuesta a su pregunta, sino más bien, información adicional que puede (o no) ser útil para pensar sobre este tipo de problema.
Cuando enseño clases introductorias de circuitos, siempre enfatizo la noción de dualidad que, cuando se domina, puede darte una visión profunda de muchas "reglas" fundamentales del análisis de circuitos.
La idea es que si conoce la respuesta para, por ejemplo, un circuito en serie, puede tomar el doble del resultado y obtener la respuesta correcta para un problema aparentemente muy diferente.
Por lo tanto, aquí hay una breve lista de los circuitos dobles:
Voltaje - Corriente
Resistencia - Conductancia
Inductancia - Capacitancia
Impedancia - Admisión
Serie - Paralelo
Thevenin - Norton
Hay otros, pero estos funcionarán la mayor parte del tiempo.
La ley de Ohm generalmente se escribe como:
\ $ V = I R \ $
Para tomar el dual, reemplaza todas las variables en la ecuación anterior con sus duales:
El dual de la Ley de Ohm:
\ $ I = VG \ $
donde \ $ G = \ dfrac {1} {R} \ $
Recuerde que para las resistencias en serie, las resistencias se suman, de modo que la resistencia equivalente es solo la suma.
Considere el dual de esto, conductancias en paralelo.
Desde el principio de dualidad, las conductancias paralelas agregan al igual que las resistencias en serie. Entonces, si tiene 3 conductancias en paralelo, la conductancia equivalente es:
\ $ G_ {eq} = G_1 + G_2 + G_3 \ $
Ahora, convierte de nuevo a resistencia:
\ $ R_ {eq} = \ dfrac {1} {G_ {eq}} = \ dfrac {1} {G_1 + G_2 + G_3} = \ dfrac {1} {\ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3}} \ $
En otras palabras, la resistencia equivalente de \ $ n \ $ resistencias paralelas es el recíproco de la suma de los recíprocos .
Este es el origen de tu primera fórmula.
En realidad, si estás haciendo un problema real con un grupo de resistencias. Lo que harías es buscar los "pocos" resistores más pequeños y calcular su resistencia. En otras palabras, si tiene 10 resistencias aproximadamente iguales, entonces la resistencia total es aproximadamente 1/10. Si tienes 3 pequeños y 7 grandes, puedes adivinar que está entre 1/3 y 1/10, pero si los 3 pequeños son realmente pequeños, entonces debería estar alrededor de 1/3 + delta. Debes desarrollar un sentido de valor cuando veas una red de resistencia. Guestimate es tu amigo :)
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