Sistemas y señales - integración con la función de dirac y la función de pasos

u (t-4) significa que la integral es igual a cero hasta que alcanzas 4, así que calcula la integral desde 4 hasta el infinito. la última pregunta, se trata de la convolución de h (t) y x (t). para x (t), t < 0 siempre x (t) = 0, t = 0 x (t) = 1 y t > 0 x (t) = -1. Dibuja x (t), tienes h (t). convólvalos.

Supondré que quieres calcular:

1. La primera integral, $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} tu (t-4) \, dt $$

2. Este: $$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} - (t- \ sigma) \ mathrm {e} ^ {- (t- \ sigma)} u (t- \ sigma) \ sigma ^ 2 \ mathrm {e} ^ {- \ sigma} \ sin (\ sigma) u (\ sigma) \, d \ sigma \ qquad t \ geq0 $$

3. Y el último: $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, d \ tau $$ con $$ x (t) = \ delta (t) \ mathrm {e} ^ {- t} -u (t) $$

Vayamos paso a paso.

FIRST:

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} tu (t-4) \, dt $$

Tenga en cuenta que la función de paso u (t-4) significa que, antes de t = 4, todo el integrando se multiplica por 0, por lo que: $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} tu (t-4) \, dt = \ int_ {4} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} t \, dt $$

Ahora, note que $$ \ frac {d} {dt} \ mathrm {e} ^ {- t ^ 2} = - 2t \ mathrm {e} ^ {- t ^ 2} $$ asi que $$ \ int_ {4} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} t \, dt = - \ frac {1} {2} \ mathrm {e} ^ {- t ^ 2} \ Bigg | _4 ^ {\ infty} = \ frac {1} {2} \ mathrm {e} ^ {- 16} $$

SECOND:

Note que $$ \ begin {array} {rcl} y (t) & = & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} - (t- \ sigma) \ mathrm {e} ^ {- (t- \ sigma)} u (t- \ sigma) \ sigma ^ 2 \ mathrm {e} ^ {- \ sigma} \ sin (\ sigma) u (\ sigma) \, d \ sigma \\ & = & \ int_ {0} ^ {t} - (t- \ sigma) \ mathrm {e} ^ {- (t- \ sigma)} \ sigma ^ 2 \ mathrm {e} ^ {- \ sigma } \ sin (\ sigma) \, d \ sigma \\ & = & \ mathrm {e} ^ {- t} \ int_ {0} ^ {t} - (t- \ sigma) \ sigma ^ 2 \ sin (\ sigma) \, d \ sigma \\ & = & -t \ mathrm {e} ^ {- t} \ int_ {0} ^ {t} \ sigma ^ 2 \ sin (\ sigma) \, d \ sigma + \ mathrm {e} ^ {- t } \ int_ {0} ^ {t} \ sigma ^ 3 \ sin (\ sigma) \, d \ sigma \\ \ end {array} $$

Ambas integrales se pueden resolver utilizando la integración por partes. El primero, vamos a u = sigma ^ 2 y dv = sin (sigma), entonces $$ \ begin {array} {rcl} \ int_ {0} ^ {t} \ sigma ^ 2 \ sin (\ sigma) \, d \ sigma & = & - \ sigma ^ 2 \ cos (\ sigma) \ Bigg | _0 ^ t + \ int_0 ^ t \ sigma \ cos (\ sigma) \, d \ sigma \\ & = & - \ sigma ^ 2 \ cos (\ sigma) \ Bigg | _0 ^ t + 2 \ sigma \ sin (\ sigma) \ Bigg | _0 ^ t-2 \ sigma \ Bigg | _0 ^ t \\ & = & -t ^ 2 \ cos (t) + 2t \ sin (t) -2t \ end {array} $$ Incluso puedes usar este resultado para calcular la segunda integral (te lo dejo a ti).

TERCERO: solo sugerencias

Lo importante aquí es tratar de describir h en términos de funciones de pasos. Puedes hacerlo como: $$ h (t) = u (t-1) + u (t-2) -u (t-3) -u (t-4) $$ O, si quieres, como rect (boxcar) funciona: $$ h (t) = \ sqcap (t- \ frac {3} {2}) + 2 \ sqcap (t- \ frac {5} {2}) + \ sqcap (t- \ frac {7} {2 }) $$

Si tomamos la primera expresión, entonces $$ \ begin {array} {rcl} h (t- \ tau) x (\ tau) & = & \ bigg (u (t- \ tau-1) + u (t- \ tau-2) -u (t- \ tau-3) - u (t- \ tau-4) \ bigg) \\ & & \ cdot \ bigg (\ delta (\ tau) \ mathrm {e} ^ {- \ tau} -u (\ tau) \ bigg) \\ & = & \ delta (\ tau) \ mathrm {e} ^ {- \ tau} u (t- \ tau-1) -u (\ tau) u (t- \ tau-1) \\ & & + \ delta (\ tau) \ mathrm {e} ^ {- \ tau} u (t- \ tau-2) -u (\ tau) u (t- \ tau-2) \\ & & - \ delta (\ tau) \ mathrm {e} ^ {- \ tau} u (t- \ tau-3) + u (\ tau) u (t- \ tau-3) \\ & & - \ delta (\ tau) \ mathrm {e} ^ {- \ tau} u (t- \ tau-4) + u (\ tau) u (t- \ tau-4) \ end {array} $$

CONSEJO: tenga en cuenta que, si t0 está en el intervalo de integración (a, b), el delta de Dirac satisface $$ \ int_a ^ b \ delta (t-t_0) f (t) \, dt = f (t_0) $$ Luego, tenga en cuenta que para el delta de Dirac en x (t), t_0 = 0.