Tensión RL en la ecuación diferencial del inductor

Navega tus respuestas
5

Tengo un circuito RL simple como el que se muestra a continuación

y quiero derivar la ecuación diferencial que relaciona los voltajes de entrada y salida. Quiero tomar el voltaje de salida como el que atraviesa el inductor. Hasta ahora he hecho lo siguiente, pero no estoy seguro de si estoy cometiendo un error o no, ya que no he podido encontrar un proceso similar en un par de libros e Internet. Quiero hacer esto como un ejercicio para encontrar la Transformada de Fourier de salida.

Sé que la ecuación diferencial comienza así:

$$ V_ {en} (t) = L \ frac {di} {dt} + Ri $$

Por lo que sé que el actual \ $ i \ $ es

$$ \ frac {V_ {out} (t) - V_ {in} (t)} {R} $$

Reemplazo esto, y obtengo

$$ V_ {in} (t) = \ frac {L} {R} \ left (\ frac {dV_ {out}} {dt} - \ frac {dV_ {in}} {dt} \ right) + V_ {out} (t) - V_ {in} (t) $$

¿Esto es correcto? Todo lo que quedaría sería reemplazar $$ V_ {in} = e ^ {jwt} $$ y $$ V_ {out} = H (w) e ^ {jwt} $$ y simplificar, obteniendo

$$ H (w) = \ frac {2+ \ frac {L} {R} jw} {1+ \ frac {L} {R} jw} $$

Creo que cometí un error en algún lugar ya que este resultado parece un poco extraño.

También: ¿es este un filtro de paso alto o paso bajo? ¿Cómo puedo resolver esto mirando la ecuación? ¿Y cómo encuentro la frecuencia de corte?

    
pregunta Emilio Botero

2 respuestas

2

Tienes la segunda relación incorrecta:

\ $ i (t) = \ dfrac {v_ {in} (t) -v_ {out} (t)} {R} \ $

sustituyendo en la primera ecuación que obtienes:

\ $ v_ {in} (t) =  \ dfrac {L} {R} \ left (\ dfrac {dv_ {in}} {dt} - \ dfrac {dv_ {out}} {dt} \ right) + v_ {in} (t) - v_ {out} (t) \ $

Por lo tanto, \ $ v_ {in} \ $ se cancela en ambos miembros. Reorganizando obtienes:

\ $ \ dfrac {L} {R} \ dfrac {dv_ {out}} {dt} + v_ {out} = \ dfrac {L} {R} \ dfrac {dv_ {in}} {dt} \ $

Por lo tanto:

\ $ \ dfrac {L} {R} \ cdot j \ omega V_ {out} + V_ {out} = \ dfrac {L} {R} \ cdot j \ omega V_ {in} \ $

\ $ H (\ omega) = \ dfrac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ dfrac {\ dfrac {L} {R} j \ omega} {1 + \ dfrac {L} {R} j \ omega} \ $

Esto es coherente con el enfoque estándar de dominio s para determinar la función de transferencia del sistema \ $ W (s) \ $. De hecho, si reemplaza el inductor con su dominio s equivalente \ $ sL \ $ y aplica la fórmula del divisor de voltaje en el dominio s que obtiene:

\ $ V_ {out} (s) = V_ {in} (s) \ dfrac {Ls} {R + Ls} \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad W (s) = \ dfrac {V_ {out} (s)} {V_ {in} (s)} = \ dfrac {Ls} {R + Ls} = \ dfrac {\ dfrac {L} {R} s} {1+ \ dfrac {L} {R} s} \ $

y desde

\ $ H (\ omega) = W (j \ omega) = \ dfrac {\ dfrac {L} {R} j \ omega} {1 + \ dfrac {L} {R} j \ omega} \ $

puedes ver que los dos métodos dan el mismo resultado.

    
respondido por el Lorenzo Donati
1

El enfoque estándar de dominio de tiempo se proporciona en este tutorial: Ejemplo de análisis de circuito de RL

En dominio de frecuencia RL

En cuanto a su pregunta, una manera fácil de ver si un circuito es de paso alto es imaginarlo en DC y en una frecuencia infinita (y tal vez una frecuencia intermedia) para ver si la transmisión es grande o cero. En este caso, en DC, el inductor es un cortocircuito, por lo que Vout se cortocircuitaría a tierra. A una frecuencia infinita, el inductor es un circuito abierto, por lo que la transmisión sería 1. Por lo tanto, este debe ser un filtro de paso alto. Encontrará el corte de un circuito de primer orden como uno sobre la constante de tiempo (L / R) en radianes. En otras palabras, es R / L radianes.

    
respondido por el crgrace

Lea otras preguntas en las etiquetas

ATtiny45 cambio de pin interrupción PB5? Circuito de preamplificador de micrófono Electret