Quiero obtener la función de transferencia de este sensor capacitivo que en el circuito, C es el capacitor variable que transforma el desplazamiento en señal eléctrica y E es la fuente de voltaje de CC después de t = 0 (s). Además, la función de transferencia en este circuito es adquirida por
H (jw) = (
Suponga un estado estacionario inicial, de modo que el voltaje del capacitor sea \ $ \ small E \ $ y el cargo sea \ $ \ small \ Q = EC \ $. Ahora, deje que \ $ \ small \ Delta C \ $ sea un pequeño cambio en la capacidad en \ $ \ small t = 0 \ $. La carga del capacitor no cambiará instantáneamente, por lo tanto, el voltaje del capacitor disminuirá instantáneamente a:
\ $ \ small V_C = \ large \ frac {Q} {C + \ Delta C} = \ frac {EC} {C + \ Delta C} \ $
El cambio instantáneo correspondiente en el voltaje del capacitor, \ $ \ small \ Delta V_C \ $, por lo tanto será:
\ $ \ small \ Delta V_C = V_C-E = \ large \ frac {EC} {C + \ Delta C} \ small - E = -E (\ frac {\ Delta C} {C + \ Delta C}) \ $
Para \ $ \ small \ Delta C \ $ pequeño, esto se reduce a: \ $ \ small \ Delta V_C \ approx -E (\ frac {\ Delta C} {C}) \ $
donde el signo menos indica que un aumento de paso en la capacitancia está acompañado por una disminución instantánea en el voltaje del capacitor.
Ahora, este cambio inicial instantáneo en el voltaje del capacitor se reduce exponencialmente a cero a medida que la corriente fluye a través de \ $ \ small R \ $ desde la fuente \ $ \ small E \ $, por lo que podemos escribir la relación, para \ $ \ small t > 0 \ $ as:
\ $ \ small \ Delta V_C (t) = -E (\ frac {\ Delta C} {C}) e ^ {- t / RC} \ $
donde la constante de tiempo es aproximadamente: \ $ \ small \ tau = R (C + \ Delta C) \ approx RC \ small \ $.
Tomando transformadas de Laplace, donde la magnitud del paso de la señal de entrada es \ $ \ small \ Delta C \ $ y la señal de salida es \ $ \ small \ Delta V_C (s) \ $
\ $ \ small \ Delta V_C (s) = - \ Delta C \ large \ frac {E} {C} \: \ frac {1} {s + 1 / RC} \ $
La última expresión es la respuesta escalonada del voltaje del capacitor, y también es la respuesta de voltaje que se mediría a través de la resistencia. Para obtener el TF relacionado con el cambio de voltaje y el cambio de capacitancia (estamos tratando con cambios en las variables, por lo que las condiciones iniciales son cero y un TF es válido), multiplique la respuesta al paso por s, y trate \ $ \ small \ Delta C \ $ como una función del tiempo con LT, \ $ \ small \ Delta C (s) \ $, por lo tanto:
\ $ \ large \ frac {\ Delta V_C (s)} {\ Delta C (s)} = - \ frac {E} {C} \ frac {s} {s + \ small 1 / RC} \ $
Ahora necesita relacionar este TF con las dimensiones del sensor capacitivo.
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