¿Cómo formular ecuaciones para los voltajes desconocidos?

He etiquetado los nodos un poco diferente. Tenga en cuenta que puede etiquetar cualquier nodo que desee como tierra o \ $ 0 \: \ textrm {V} \ $. Escogí uno para hacer las cosas un poco más fáciles de seguir. Pero puedes elegir cualquier nodo.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Notas:

1. \ $ R_5 \ $ y \ $ R_6 \ $ siempre se suman. No necesita preocuparse por el nodo entre ellos.
2. Toda la corriente que fluye por \ $ R_4 \ $ fluye por \ $ V_1 \ $. Así que todo lo que necesita hacer es averiguar \ $ V_a \ $. Fácil. (Podría resumir las corrientes en \ $ R_2 \ $ y \ $ R_7 \ $. ¿Pero por qué?)

Las ecuaciones nodales son fáciles. En cada nodo, solo recuerde la idea de que la corriente que se está "derramando hacia afuera" lejos del nodo debe ser igual a la corriente "que se derrama hacia adentro" hacia el nodo. Configuraré las ecuaciones donde "exterior" está a la izquierda y "interno" a la derecha:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_a} {R_4} + \ frac {V_a} {R_5 + R_6} + \ frac {V_a} {R_1} & = \ frac {0 \: \ textrm {V}} {R_4} + \ frac { V_b} {R_5 + R_6} + \ frac {V_c} {R_1} \\  \\ \ frac {V_b} {R_3} + \ frac {V_b} {R_5 + R_6} + \ frac {V_b} {R_7} & = \ frac {V_c} {R_3} + \ frac {V_a} {R_5 + R_6} + \ frac {10 \: \ textrm {V}} {R_7} \\  \\ \ frac {V_c} {R_2} + \ frac {V_c} {R_1} + \ frac {V_c} {R_3} & = \ frac {10 \: \ textrm {V}} {R_2} + \ frac {V_a} {R_1} + \ frac {V_b} {R_3} \ end {align *} $$

Ahora, repase cuidadosamente las ecuaciones anteriores y considere cuidadosamente los lados derecho e izquierdo, como se muestra. Tenga en cuenta que NO me importa en absoluto las diferencias de voltaje. Trato cada voltaje como un valor absoluto que existe de forma independiente y no como una "diferencia de potencial". ¡Sin embargo, los valores absolutos de voltaje en realidad no existen! Es siempre una diferencia potencial que importa. Entonces, ¿por qué funciona esto? La superposición es la razón. La razón por la que menciono este método de aproximación al análisis nodal es que simplifica enormemente lo que de otro modo parece más complicado y detallado y donde podría cometer pequeños errores. Solo concéntrese en un nodo a la vez, extienda el lado derecho y luego el izquierdo. Este proceso ayuda a evitar que cometas errores menores. (También es el proceso utilizado por el software Spice para configurar ecuaciones).

Ahora configure las ecuaciones simultáneas del conjunto anterior:

$$ \ begin {align *} V_a \ cdot \ left (\ frac {1} {R_4} + \ frac {1} {R_5 + R_6} + \ frac {1} {R_1} \ right) + V_b \ cdot \ frac {-1} {R_5 + R_6} + V_c \ cdot \ frac {-1} {R_1} & = 0 \\  \\ V_a \ cdot \ frac {-1} {R_5 + R_6} + V_b \ cdot \ left (\ frac {1} {R_3} + \ frac {1} {R_5 + R_6} + \ frac {1} {R_7} \ derecha) + V_c \ cdot \ frac {-1} {R_3} & = \ frac {10 \: \ textrm {V}} {R_7} \\  \\ V_a \ cdot \ frac {-1} {R_1} + V_b \ cdot \ frac {-1} {R_3} + V_c \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_3} \ derecha) & = \ frac {10 \: \ textrm {V}} {R_2} \ end {align *} $$

Las ecuaciones resultantes, con los valores conectados, son:

$$ \ begin {align *} \ left (0.0017 \ right) \ cdot V_a + \ left (-0.0005 \ right) \ cdot V_b + \ left (-0.0002 \ right) \ cdot V_c & = 0 \\  \\ \ left (-0.0005 \ right) \ cdot V_a + \ left (0.0025 \ right) \ cdot V_b + \ left (-0.001 \ right) \ cdot V_c & = 0.01 \\  \\ \ left (-0.0002 \ right) \ cdot V_a + \ left (-0.001 \ right) \ cdot V_b + \ left (0.0022 \ right) \ cdot V_c & = 0.01 \ end {align *} $$

También es útil tener en cuenta las simetrías de arriba. La diagonal de la matriz del lado izquierdo tiene valores únicos. Pero los valores restantes viajan en pares. Es un patrón que verás a menudo. La solución es \ $ V_a = \ tfrac {115} {34} \: \ textrm {V} \ $, \ $ V_b = \ tfrac {275} {34} \: \ textrm {V} \ $, y \ $ V_c = \ tfrac {145} {17} \: \ textrm {V} \ $.

Entonces es bastante obvio que \ $ I_ {V_1} = I_ {R_4} = \ frac {V_a} {R_4} \ approx 3.38 \: \ textrm {mA} \ $

He etiquetado los voltajes desconocidos que desea encontrar a continuación (\ $ V_x, V_y, V_z \ $).

Marqué la referencia con 0V. Se aplica el mismo análisis nodal que le han enseñado. Cada uno de los nodos tiene varias corrientes que entran o salen (usted elige arbitrariamente).

Por simplicidad, voy a asumir que todas las corrientes que entran en los nodos.

En \ $ V_x \ $: Tres corrientes relacionadas con este nodo; a) el que proviene de la fuente de 10V, b) el que proviene de \ $ V_z \ $ a través de un resistor de 1k \ $ \ Omega \ $, yc) el que proviene de \ $ V_y \ $ a través de un valor de 1k \ $ \ Omega \ $ resistencia.

Así que obtienes:

$$ \ frac {V_z-V_x} {1 \ mathrm {k} \ Omega} + \ frac {V_y-V_x} {1 \ mathrm {k} \ Omega} + \ frac {0- (V_x-10 )} {1 \ mathrm {k} \ Omega} = 0 $$

El último término puede ser un poco difícil de entender. Pero realmente quieres la corriente a través de esa resistencia inferior. Un extremo se adjunta a 0V y el otro a un valor menor que la fuente de 10V o más específicamente, \ $ V_x-10 \ mathrm {V} \ $. Creo que esa podría ser la parte más complicada de todo el problema.

Todo lo demás sigue de la misma manera que antes. Escribe las ecuaciones para \ $ V_y \ $ y \ $ V_z \ $

En \ $ V_y \ $: $$ \ frac {V_x-V_y} {1 \ mathrm {k} \ Omega} + \ frac {0-V_y} {5 \ mathrm {k} \ Omega} + \ frac {V_z-V_y} {1 \ mathrm { k} \ Omega} = 0 $$

En \ $ V_z \ $: $$ \ frac {V_x-V_z} {1 \ mathrm {k} \ Omega} + \ frac {V_y-V_z} {1 \ mathrm {k} \ Omega} + \ frac {0-V_z} {2 \ mathrm { k} \ Omega} = 0 $$

Ahí tienes las tres ecuaciones que necesitas. Debería poder encontrar \ $ I \ $ después de encontrar \ $ V_x \ $.