Encontrar la frecuencia de resonancia

Como @Steve Roehrs explicó, este problema puede abordarse con la transformada de Laplace. Usando las transformadas de Laplace del inductor y el condensador obtenemos la siguiente expresión para la impedancia total.

$$ H = \ frac {1} {\ frac {1} {L s + R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {1} + \ frac {1} {C s}}} $$

$$ = \ frac {CL R_ {1} s ^ {2} + (C R_ {1} R_ {2} + L) s + R_ {2}} {CL s ^ {2} + (C R_ {1} + C R_ {2}) s + 1} $$

Para llegar a la frecuencia de resonancia tenemos que evaluar la transformada de Laplace en el eje jw, s = jw.

Como se mencionó anteriormente, debe comprender qué es exactamente lo que está buscando, impedancia mínima, fase mínima u otra cosa.

Podemos obtener cierta información al representar gráficamente las expresiones de la fase y la magnitud de H en función de la frecuencia. Específicamente un gráfico de Bode.

$$ 20log (| H |) = 20log \ left (\ left | \ frac {CL R_ {1} (j \ omega) ^ {2} + (C R_ {1} R_ {2} + L) (j \ omega) + R_ {2}} {CL (j \ omega) ^ {2} + (C R_ {1} + C R_ {2}) (j \ omega) + 1} \ right | \ right) $$

$$ángulo(H)=tan^{-1}{\frac{Im(H)}{Re(H)}}$$

Aquí podemos ver que podemos resolver el punto de resonancia estableciendo la derivada de | H | igual a cero y resolviendo para w. De manera similar, podríamos establecer el ángulo de H en cero y resolver para w.

Si sigue ese procedimiento y resuelve, la expresión resultante de la frecuencia de resonancia es:

$$ \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

Las transformaciones de Laplace lo harán, si puedo recordar lo suficiente de mi segundo año en EE.

El generador de señales de la izquierda se está interponiendo. Supongo que desea la frecuencia de resonancia del circuito paralelo RL / RC.

Defina la impedancia de las resistencias como R

Defina la impedancia del condensador como 1 / sC

Defina la impedancia del inductor como sL

Calcule la impedancia total del circuito (sin el generador) como X (s) sumando las impedancias en cada rama y utilizando la ley para resistencias paralelas

R = 1 / (1 / R1 + 1 / R2)

Sustituye s = jw

La magnitud de la impedancia de su circuito es | X (s) |

Encuentre el derivado de ese d (| X (s) |) / ds

Resuelve para s = 0

Conociendo s = j * 2 * pi * f

resuelve para f.

Lo siento si el formato es un desastre.

La fórmula para resonancia en serie o paralela es:

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

Da un \ $ \ omega_0 \ $ = 2236.1 rad / s y una frecuencia de resonancia \ $ f_0 \ $ = 355.9Hz.

De hiperfísica (a la que se hace referencia en los comentarios OP):

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ \ sqrt {\ frac {R_L ^ 2C - L} {R_C ^ 2C - L} \} $$

Da un \ $ \ omega_0 \ $ = 2263.6 rad / s y \ $ f_0 \ $ = 360.3Hz o 1.23% de la fórmula pura.

Dadas las precisiones de los componentes involucrados (por ejemplo, 5%), \ $ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ será más que preciso.

Uno solo tiene que mirar el gráfico de impedancia de los componentes LC de propósito general que ha elegido para darse cuenta de que estas son partes Q muy bajas. Normalmente, se conduce un circuito de tanque LC paralelo con una fuente de corriente (emisor común) para obtener una alta frecuencia de resonancia Q como R / Xc (f) = Q donde Xc (f) = Xl (f) en resonancia.

Pero, a la frecuencia de resonancia de estas partes de LC, se puede ver que el Zo < 1Ω mientras tanto, el ESR de cada parte es > 1Ω, lo que hace que cada componente sea más resistente que reactivo, lo que hace que el tanque cct esté en mal estado y no resuene en absoluto.

¿Por qué estas partes? y que estas tratando de lograr un medidor RLC barato? un circuito de tanques? ¿Un método de prueba para la resonancia? o que?

FYI low ESR high Q Las tapas electrónicas tienen un valor ESR * C = T < 10us. El suyo está en el rango de Propósito General (GD) de 100us y pobre para resonancia.