Lo primero es lo primero: como dice tcrosley, necesitaríamos un esquema. No está claro por qué incluso está utilizando una puerta lógica, ya que todas las entradas están conectadas a una alimentación de 6V. Parece que puede estar malinterpretando cómo funciona una puerta lógica. La salida no será la suma de corriente en las entradas. Cuando la salida de la puerta está activa, estará a la tensión especificada y podrá proporcionar la corriente especificada. Si está intentando usar la compuerta OR para activar el relé cuando alguna de sus entradas es alta, es una historia diferente y definitivamente un uso apropiado.
Dicho esto, en términos generales, este es uno de los usos más comunes de un BJT: la amplificación de corriente. Generalmente en lo que creo que es su caso, usaría un NPN con la base controlada por la salida de la puerta lógica.
En el siguiente esquema, la puerta O es cualquier circuito que hayas mencionado. El relé que manejé desde la misma referencia de 6 V a la que usted hace referencia, pero podría ser cualquier cosa, siempre que pueda compartir el mismo plano de tierra (no es del todo cierto, pero por simplicidad lo dejaremos así). R1 es un limitador de corriente / resistencia de polarización al transistor y R2 es un resistor desplegable para ayudar con una función más determinista. La relación entre R1, R2 y Q1 es compleja y está fuera del alcance de esta respuesta. Google será tu amigo en este sentido.
El funcionamiento es simple: la salida de corriente de 6V pero pequeña de la compuerta OR es lo suficientemente alta para desviar el transistor Q1, lo que provoca que una corriente más alta fluya a través de él. La relación de esta corriente más alta a la corriente de entrada está determinada por la relación mencionada. Esta corriente debe ser suficiente para activar el relé, pero esto debería ser fácil de lograr. Desde allí, simplemente ejecute el voltaje que desee a través de los contactos y asegúrese de que el relé pueda manejarlo. El diodo D1 es necesario para proteger Q1 de las corrientes de retorno generadas por el relé cuando se desactiva.
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab