Relación entre la transformada de Fourier de Y y X

Yo también he luchado con esta notación. Parece desafiar la lógica de que aparezca una j entre corchetes, casi parece que j es un argumento en lugar de solo un número. En cualquier caso, esta notación se ve con frecuencia en la literatura, así que trate de acostumbrarse a ella. Casi parece que están tomando la transformada de Laplace y evaluándola en s = jw, lo que tendría sentido. No sé exactamente la razón de las diferentes notaciones. Tradicionalmente, como función, el único argumento es w y no jw, por lo tanto, en ese sentido, j no debería estar allí. Pero solo trata de acostumbrarte a esto, ya que está escrito así mucho.

Creo que es coherente con la transformada de Laplace que usa \ $ s = \ sigma + j \: \ omega \ $ y \ $ F_s = \ int f_t \: e ^ {- s \: t} \: \ text {d} t \ $ . Tenga en cuenta la ausencia de \ $ j \ $ (o \ $ i \ $ ) en la transformada de Laplace? Esto se debe a que es parte de \ $ s \ $ , por convención.

No sé si lo recuerda, pero la multiplicación compleja de dominios involucra dos acciones, escalado y rotación, en una sola operación. En electrónica, a menudo a no le interesa el escalado, pero solo la rotación (la parte de frecuencia). Por lo tanto, \ $ \ sigma = 0 \ $ , por fiat. Esto deja solo la parte \ $ j \: \ omega \ $ que queda en \ $ s \ $ .

Por lo tanto, la transformada de Laplace se reduce a \ $ F_ {j \: \ omega} = \ int f_t \: e ^ {- j \: \ omega \: t} \ : \ text {d} t \ $ , mediante simple sustitución de \ $ s = 0 + j \: \ omega \ $ , donde \ $ \ sigma = 0 \ $ .

Por lo tanto, para mantener la coherencia y ser fiel a la notación de Laplace, debe darse el caso de que \ $ F_ {j \ left (\ omega- \ omega_c \ right)} = \ int f_t \: e ^ {- j \ left (\ omega- \ omega_c \ right) t} \: \ text {d} t \ $ . O, dicho de otra manera, si \ $ y_t = x_t \: e ^ {\: j \: \ omega_c \: t} \ $ y al usar la notación de Laplace, obtienes:

$$ \ begin {align *} Y_ {j \: \ omega} & = \ int y_t \: e ^ {- j \: \ omega \: t} \: \ text {d} t \\\\ & = \ int x_t \: e ^ {\: j \: \ omega_c \: t} \: e ^ {- j \: \ omega \: t} \: \ text {d} t \\\\ & = \ int x_t \: e ^ {\: j \: \ left (\ omega_c- \ omega \ right) \: t} \: \ text {d} t \\\\ & = \ int x_t \: e ^ {- j \: \ left (\ omega- \ omega_c \ right) \: t} \: \ text {d} t \ end {align *} $$

La única notación coherente posible para esto, de acuerdo con la notación de Laplace de \ $ F_s = \ int f_t \: e ^ {- s \: t} \: \ text { d} t \ $ y donde \ $ \ sigma = 0 \ $ , sería:

$$ \ begin {align *} Y_ {j \: \ omega} & = X_ {j \: \ left (\ omega- \ omega_c \ right)} \ end {align *} $$

La notación de Fourier (creo que es un subconjunto de Laplace) a menudo se expresa de forma un poco diferente, lo que implica \ $ j \ $ (o \ $ i \ $ ), sin hacerlo explícito en el parámetro. Pero eso es solo una convención diferente para la notación de Fourier.