Transformada de Fourier de los componentes de las señales de paso de banda

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Me refiero a un libro llamado Communication Systems por Simon Haykin, 3ª edición.

Dice que una señal de paso de banda \ $ s (t) \ $ con frecuencia de banda media \ $ f_c \ $ y ancho de banda \ $ 2W \ $ se puede representar de la siguiente manera:
$$ s (t) = s_I (t) \ cos (2 \ pi f_c t) - s_Q \ sin (2 \ pi f_c t) $$ donde \ $ s_I (t) \ $ es el componente en fase de \ $ s (t) \ $, y \ $ s_Q (t) \ $ es el componente de fase en cuadratura de \ $ s (t) \ $. Siguiendo esto, dice que la transformada de Fourier de \ $ s_I (t) \ $ se relaciona con la de \ $ s (t) \ $ por $$ S_I (f) = \ left \ {\ begin {matrix} S (f-f_c) + S (f + f_c), & -W \ leq f \ leq W \\ 0, & \ text {en otra parte} \ end {matrix} \ right. $$ De manera similar para \ $ s_Q (t) \ $, $$ S_Q (f) = \ left \ {\ begin {matrix} j [S (f-f_c) - S (f + f_c)], & -W \ leq f \ leq W \\ 0, & \ text {en otra parte} \ end {matrix} \ right. $$

No entiendo cómo están siendo las relaciones entre \ $ S_I (f) \ $ y \ $ S (f) \ $, y \ $ S_Q (f) \ $ y \ $ S (f) \ $ derivado.

    
pregunta Ashish

1 respuesta

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Si multiplica \ $ s (t) \ $ con \ $ 2 \ cos (2 \ pi f_c t) \ $ y con \ $ - 2 \ sin (2 \ pi f_c t) \ $, respectivamente (es decir, usted en realidad están demodulando la señal), obtienes:

$$ s (t) \ cdot2 \ cos (2 \ pi f_c t) = 2s_I (t) \ cos ^ 2 (2 \ pi f_c t) -2s_Q (t) \ sin (2 \ pi f_c t) \ cos (2 \ pi f_c t) = \\ = s_I (t) + [s_I (t) \ cos (2 \ cdot2 \ pi f_c t) -s_Q (t) \ sin (2 \ cdot2 \ pi f_c t)] $$

y

$$ - s (t) \ cdot2 \ sin (2 \ pi f_c t) = - 2s_I (t) \ cos (2 \ pi f_c t) \ sin (2 \ pi f_c t) + 2s_Q (t) \ sin ^ 2 (2 \ pi f_c t) = \\ = s_Q (t) - [s_I (t) \ sin (2 \ cdot2 \ pi f_c t) + s_Q (t) \ cos (2 \ cdot2 \ pi f_c t)] $$

Tenga en cuenta que los términos entre paréntesis están centrados al doble de la frecuencia del operador \ $ f_c \ $. Así que en la banda \ $ - W < f < W \ $ (es decir, mediante el filtro de paso bajo) obtenemos

$$ s (t) \ cdot2 \ cos (2 \ pi f_c t) = s_I (t) \\ -s (t) \ cdot2 \ sin (2 \ pi f_c t) = s_Q (t) $$

Si toma la transformada de Fourier de estas dos ecuaciones, obtendrá las relaciones de Fourier que figuran en su pregunta.

    
respondido por el Matt L.

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