Transformada de Fourier de una suma de señales

La transformada de Fourier es lineal, lo que significa que si sumas dos señales, también su espectro será la suma.

$$ \ mathscr {F} [x (t) + y (t)] = \ mathscr {F} [x (t)] + \ mathscr {F} [ y (t)] $$

Si considera el poder, puede tener dos casos:

1. Las señales tienen una frecuencia diferente
   Entonces su poder simplemente se resume, porque: $$ P_ {tot} = P_1 cos (\ omega _1 t + \ phi _1) + P_2 cos (\ omega _2 t + \ phi _2) $$

2. Las señales tienen la misma frecuencia
   Entonces si están en fase tienes: $$ P_ {tot} = P_1 cos (\ omega _0 t + \ phi _0) + P_2 cos (\ omega _0 t + \ phi _0) = (P_1 + P_2) \ cdot cos (\ omega _0 t + \ phi_0) $$ Si están fuera de fase, la potencia resultante será menor y precisa: $$ P_ {tot} = P_1 cos (\ omega _0 t + \ phi _1) + P_2 cos (\ omega _0 t + \ phi _2) $$ y al establecer arbitrariamente \ $ \ phi_1 = 0 \ $ obtenemos: $$ P_ {tot} = P_1 cos (\ omega _0 t) + P_2 cos (\ omega _0 t + \ Delta \ phi) $$ que para \ $ \ Delta \ phi = \ pi \ $ da la resta de las señales.

Una transformada de Fourier muestra esencialmente el espectro de frecuencias de una señal. Una onda sinusoidal se considera una frecuencia pura, por lo que la transformada de Fourier de un solo seno sería un pico en su frecuencia. Si la señal contiene múltiples ondas sinusoidales, habrá un pico en la transformada de Fourier para cada una.

Tenga en cuenta que tales "picos" en la transformada de Fourier tienen un ancho y una forma finitos porque la integral de Fourier no se realiza en todo momento. Cuanto más corta sea la ventana, más ancha debe ser la espiga. Pensando en esto de otra manera, una onda sinusoidal que cambia de amplitud ya no es una frecuencia pura. La capacidad de la transformada de Fourier para resolver frecuencias disminuye con el recíproco de la ventana de tiempo, por lo que esto representa una ambigüedad en el espacio de frecuencias, por lo tanto, incluso si solo hay una sola frecuencia presente, el resultado no será un pico infinitamente delgado.

Piense en los sistemas lineales que muestran los resultados como señales independientes pero como sensores no lineales como mezcladores con subproductos. A partir de las transformadas de Laplace y el análisis de Fourier obtenemos la mezcla, pensamos que se multiplica en el dominio del tiempo y se suma y se resta en el dominio de la frecuencia. Aplazamiento las explicaciones matemáticas a mis colegas o cualquier libro sobre las transformaciones de Laplace de una salida de mezclador en el dominio del tiempo o el análisis de Fourier.

Por lo tanto, agregar en el dominio del tiempo no afecta el contenido espectral a pesar de las frecuencias de latido aparentes de la banda base de la diferencia entre el contenido espectral de f1 puro y f2 puro. Ahora nuestros cerebros realizan un análisis de Fourier cuando escuchamos música instantáneamente debido al procesamiento paralelo de la señal. La diferencia en los latidos de notas similares es un resultado aparente de anular las señales y luego las fases se cancelan en la portadora en lugar de una intermodulación de la mezcla en un detector no lineal. Aunque nuestros oídos también son no lineales (vea las curvas de Fletcher-Munson) y logarítmicos, son sistemas lineales puros con un detective adaptativo de sensores nerviosos paralelos y no en realidad un detector logarítmico en la banda de paso que no es lineal. Es un detector logarítmico en la transformada de Fourier de cada frecuencia continua.

Imagine un millón de detectores de registro de amplificadores operacionales en paralelo (vea Computadoras analógicas) como nuestros cerebros que realizan transformadas lineales de Fourier con un rango dinámico de 120 dB. Es posible que esto no coincida con su aplicación, pero muestra cuán compleja es la función del cerebro con el procesamiento paralelo y la distinción clara de un par de notas al instante.

Desearía poder multiplicarme tan bien como mi calculadora o hacer un espectrograma de lo que escucho. Los músicos pueden hacer esto visualmente en su mente al escuchar los sonidos de una manera bastante interesante y tener memoria auditiva como un gráfico de tiras con un "espectrograma" de contenido de Fourier. La parte de interés es que no hay una transformación consciente en nuestra mente y no podemos imaginarla en el dominio del tiempo que no sea el sobre a menos que lo digitalicemos en listas de música.

Los ingenieros prefieren los analizadores de espectro. Muchas herramientas gratuitas en la web, incluido el estudio de grabación de audio gratuito de Audacity con un software incorporado en el analizador de espectro.

Espero que esto ayude incluso si no tuviera que usar las matemáticas.

Confío en que genera más preguntas de las que preguntaste y respondiste al menos una que pretendías. De eso se trata el aprendizaje.

Gracias por escuchar;)