EDITAR: Gracias a hryghr veo que las suposiciones iniciales eran incorrectas. La magnitud de la función de transferencia no se puede encontrar tan simplemente.
Hace más de diez años que consideré que mis habilidades eran muy claras en esto.
Tema, y los cuchillos no se afilan en el cajón! Pero no puedo tener
que publiqué algo formalmente incorrecto, así que aquí va intento # 2:
Derivaré la función de transferencia de forma sucia ... utilizando Kirchoff's
Ley actual (KCL) (un método muy genérico). Llamo al nodo de salida \ $ V_ {o} \ $, y al nodo medio \ $ V_ {x} \ $. Para las siguientes ecuaciones reduzco la escritura por
escribiendo \ $ V_ {o} \ $ en lugar de los más precisos \ $ V_ {o} (s) \ $:
I: KCL en \ $ V_ {o} \ $:
$$
\ frac {V_ {o} -V_ {x}} {R_ {2}} + sC_ {2} V_ {o} = 0
$$
$$
V_ {x} = V_ {o} (1 + sR_ {2} C_ {2})
$$
II: KCL en \ $ V_ {x} \ $:
$$
\ frac {V_ {x} -V_ {i}} {R_ {1}} + \ frac {V_ {x} -V_ {o}} {R_ {2}} + sC_ {1} V_ {x} = 0
$$
Términos de reorganización:
$$
R_ {2} (V_ {x} -V_ {i}) + R_ {1} (V_ {x} -V_ {o}) + sR_ {1} R_ {2} C_ {1} V_ {x} = 0
$$
Términos de reorganización:
$$
V_ {x} (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1}) - R_ {2} V_ {i} -R_ {1} V_ {o} = 0
$$
Sustituyendo \ $ V_ {x} \ $ con el resultado de I:
$$
V_ {o} (1 + sR_ {2} C_ {2}) (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1}) - R_ {2} V_ {i} - R_ {1} V_ {o} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1} V_ {o} = 0
$$
Recopilando términos para \ $ V_ {o} \ $
$$
V_ {o} ((1 + sR_ {2} C_ {2}) (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1}) - R_ {1}) = R_ { 2} V_ {i}
$$
Reorganización:
$$
\ frac {V_ {o}} {V_ {i}} = \ frac {R_ {2}} {(1 + sR_ {2} C_ {2}) (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1 } R_ {2} C_ {1}) - R_ {1}}
$$
Términos en expansión:
$$
\ frac {V_ {o}} {V_ {i}} = \ frac {R_ {2}} {R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1} + sR_ {1 } R_ {2} C_ {2} + sR_ {2} ^ {2} C_ {2} + s ^ {2} R_ {1} R_ {2} ^ {2} C_ {1} C_ {2} -R_ {1}}
$$
\ $ R_ {1} \ $ cancela, luego divide por \ $ R_ {2} \ $ arriba y abajo:
$$
\ frac {V_ {o}} {V_ {i}} = \ frac {1} {1 + sR_ {1} C_ {1} + sR_ {1} C_ {2} + sR_ {2} C_ {2} + s ^ {2} R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}}
$$
Prettified, la función de transferencia es:
$$
H (s) = \ frac {V_ {o} (s)} {V_ {i} (s)} = \ frac {1} {s ^ {2} R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2} + s (R_ {1} C_ {1} + R_ {1} C_ {2} + R_ {2} C_ {2}) + 1}
$$
Este es probablemente un buen lugar para comenzar a convertir a la forma estándar que
menciones hryghr. Es posible que la frecuencia de esquina solicitada se relacione con ese formulario.
No me molestaré mucho con eso, pero continúe para encontrar el punto -3dB.
La magnitud de la función de transferencia puede ser encontrada por ejemplo por
calculando:
$$
\ left | H (\ omega) \ right | = \ sqrt {H (s \ rightarrow j \ omega) H (s \ rightarrow-j \ omega)}
$$
Configuración \ $ A = R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2} \ $ y \ $ B = (R_ {1} C_ {1} + R_ {1} C_ {2} + R_ {2} C_ {2}) \ $
para simplificar este cálculo:
$$
\ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {((j \ omega) ^ {2} A + (j \ omega) B + 1) ((- - j \ omega) ^ { 2} A + (- j \ omega) B + 1)}}
$$
$$
\ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {(- \ omega {} ^ {2} A + j \ omega B + 1) (- \ omega {} ^ {2} Aj \ omega B + 1)}}
$$
$$
\ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {\ omega {} ^ {4} A ^ {2} - \ omega {} ^ {2} A (j \ omega Bj \ omega B + 1 + 1) + \ omega ^ {2} B ^ {2} + (j \ omega Bj \ omega B) +1}}
$$
$$
\ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {\ omega {} ^ {4} A ^ {2} + \ omega {} ^ {2} (B ^ {2} - 2A) +1}}
$$
Encontrar \ $ B ^ {2} -2A \ $ te ofrece algo como:
$$
R_ {1} ^ {2} (C_ {1} + C_ {2}) ^ {2} + C_ {2} ^ {2} (2R_ {1} R_ {2} + R_ {2} ^ {2} )
$$
Luego, para encontrar el punto -3dB comience en:
$$
\ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {\ omega {} ^ {4} A ^ {2} + \ omega {} ^ {2} (B ^ {2} -2A) +1}}
$$
$$
2 = \ omega {} ^ {4} A ^ {2} + \ omega {} ^ {2} (B ^ {2} -2A) +1
$$
Hasta ahora lo he hecho todo a mano (esperemos que no haya errores), pero aquí
Lo llamo un día, pruebo mathica y obtengo \ $ \ omega \ $ para la frecuencia de -3dB como:
$$
w \ to \ sqrt {\ frac {1} {A} - \ frac {B ^ {2}} {2A ^ {2}} + \ frac {\ sqrt {8A ^ {2} -4AB ^ {2} + B ^ {4}}} {2A ^ {2}}}
$$
