Derivación de la frecuencia de corte del filtro de paso bajo pasivo de segundo orden

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Estoy trabajando en un filtro pasivo de paso bajo de segundo orden, que consiste en dos filtros pasivos de paso bajo encadenados.

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

Sea \ $ H (s) = H_1 (s) H_2 (s) \ $ donde \ $ H_1 (s) \ $ y \ $ H_2 (s) \ $ son las funciones de transferencia para cada etapa de filtro por separado.

Entonces \ $ | H (s) | = | H_1 (s) || H_2 (s) | \ $

Conociendo la magnitud de un filtro pasivo de paso bajo,

$$ | H (s) | = \ dfrac1 {\ sqrt {(\ omega R_1C_1) ^ 2 + 1}} \ times \ dfrac1 {\ sqrt {(\ omega R_2C_2) ^ 2 + 1}} = \ dfrac1 {\ sqrt {((\ omega R_1C_1) ^ 2 + 1) ((\ omega R_2C_2) ^ 2 + 1)}} $$

Luego, tratando de encontrar la frecuencia de corte:

$$ \ left (\ dfrac1 {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ dfrac1 {\ sqrt {((\ omega R_1C_1) ^ 2 + 1) ((\ omega R_2C_2) ^ 2 + 1)}} $$ $$ 2 = \ sqrt {((\ omega R_1C_1) ^ 2 + 1) ((\ omega R_2C_2) ^ 2 + 1)} $$ $$ 4 = ((\ omega R_1C_1) ^ 2 + 1) ((\ omega R_2C_2) ^ 2 + 1) $$ $$ 4 = (\ omega R_1C_1) ^ 2 (\ omega R_2C_2) ^ 2 + (\ omega R_1C_1) ^ 2 + (\ omega R_2C_2) ^ 2 + 1 $$

Y estoy atascado. La investigación en la web me dice \ $ \ omega_c = \ dfrac1 {\ sqrt {R_1C_1R_2C_2}} \ $, pero no puedo encontrar por qué. ¿Alguien puede mostrar mi derivación para encontrar esto?

    
pregunta ACarter

4 respuestas

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EDITAR: Gracias a hryghr veo que las suposiciones iniciales eran incorrectas. La magnitud de la función de transferencia no se puede encontrar tan simplemente. Hace más de diez años que consideré que mis habilidades eran muy claras en esto. Tema, y los cuchillos no se afilan en el cajón! Pero no puedo tener que publiqué algo formalmente incorrecto, así que aquí va intento # 2:

Derivaré la función de transferencia de forma sucia ... utilizando Kirchoff's Ley actual (KCL) (un método muy genérico). Llamo al nodo de salida \ $ V_ {o} \ $, y al nodo medio \ $ V_ {x} \ $. Para las siguientes ecuaciones reduzco la escritura por escribiendo \ $ V_ {o} \ $ en lugar de los más precisos \ $ V_ {o} (s) \ $:

I: KCL en \ $ V_ {o} \ $:

$$ \ frac {V_ {o} -V_ {x}} {R_ {2}} + sC_ {2} V_ {o} = 0 $$

$$ V_ {x} = V_ {o} (1 + sR_ {2} C_ {2}) $$ II: KCL en \ $ V_ {x} \ $:

$$ \ frac {V_ {x} -V_ {i}} {R_ {1}} + \ frac {V_ {x} -V_ {o}} {R_ {2}} + sC_ {1} V_ {x} = 0 $$

Términos de reorganización:

$$ R_ {2} (V_ {x} -V_ {i}) + R_ {1} (V_ {x} -V_ {o}) + sR_ {1} R_ {2} C_ {1} V_ {x} = 0 $$

Términos de reorganización:

$$ V_ {x} (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1}) - R_ {2} V_ {i} -R_ {1} V_ {o} = 0 $$

Sustituyendo \ $ V_ {x} \ $ con el resultado de I: $$ V_ {o} (1 + sR_ {2} C_ {2}) (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1}) - R_ {2} V_ {i} - R_ {1} V_ {o} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1} V_ {o} = 0 $$

Recopilando términos para \ $ V_ {o} \ $

$$ V_ {o} ((1 + sR_ {2} C_ {2}) (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1}) - R_ {1}) = R_ { 2} V_ {i} $$

Reorganización:

$$ \ frac {V_ {o}} {V_ {i}} = \ frac {R_ {2}} {(1 + sR_ {2} C_ {2}) (R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1 } R_ {2} C_ {1}) - R_ {1}} $$

Términos en expansión:

$$ \ frac {V_ {o}} {V_ {i}} = \ frac {R_ {2}} {R_ {1} + R_ {2} + sR_ {1} R_ {2} C_ {1} + sR_ {1 } R_ {2} C_ {2} + sR_ {2} ^ {2} C_ {2} + s ^ {2} R_ {1} R_ {2} ^ {2} C_ {1} C_ {2} -R_ {1}} $$

\ $ R_ {1} \ $ cancela, luego divide por \ $ R_ {2} \ $ arriba y abajo:

$$ \ frac {V_ {o}} {V_ {i}} = \ frac {1} {1 + sR_ {1} C_ {1} + sR_ {1} C_ {2} + sR_ {2} C_ {2} + s ^ {2} R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}} $$

Prettified, la función de transferencia es:

$$ H (s) = \ frac {V_ {o} (s)} {V_ {i} (s)} = \ frac {1} {s ^ {2} R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2} + s (R_ {1} C_ {1} + R_ {1} C_ {2} + R_ {2} C_ {2}) + 1} $$

Este es probablemente un buen lugar para comenzar a convertir a la forma estándar que menciones hryghr. Es posible que la frecuencia de esquina solicitada se relacione con ese formulario. No me molestaré mucho con eso, pero continúe para encontrar el punto -3dB.

La magnitud de la función de transferencia puede ser encontrada por ejemplo por calculando:

$$ \ left | H (\ omega) \ right | = \ sqrt {H (s \ rightarrow j \ omega) H (s \ rightarrow-j \ omega)} $$

Configuración \ $ A = R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2} \ $ y \ $ B = (R_ {1} C_ {1} + R_ {1} C_ {2} + R_ {2} C_ {2}) \ $ para simplificar este cálculo:

$$ \ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {((j \ omega) ^ {2} A + (j \ omega) B + 1) ((- - j \ omega) ^ { 2} A + (- j \ omega) B + 1)}} $$

$$ \ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {(- \ omega {} ^ {2} A + j \ omega B + 1) (- \ omega {} ^ {2} Aj \ omega B + 1)}} $$

$$ \ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {\ omega {} ^ {4} A ^ {2} - \ omega {} ^ {2} A (j \ omega Bj \ omega B + 1 + 1) + \ omega ^ {2} B ^ {2} + (j \ omega Bj \ omega B) +1}} $$

$$ \ left | H (\ omega) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {\ omega {} ^ {4} A ^ {2} + \ omega {} ^ {2} (B ^ {2} - 2A) +1}} $$

Encontrar \ $ B ^ {2} -2A \ $ te ofrece algo como:

$$ R_ {1} ^ {2} (C_ {1} + C_ {2}) ^ {2} + C_ {2} ^ {2} (2R_ {1} R_ {2} + R_ {2} ^ {2} ) $$

Luego, para encontrar el punto -3dB comience en:

$$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {\ omega {} ^ {4} A ^ {2} + \ omega {} ^ {2} (B ^ {2} -2A) +1}} $$

$$ 2 = \ omega {} ^ {4} A ^ {2} + \ omega {} ^ {2} (B ^ {2} -2A) +1 $$

Hasta ahora lo he hecho todo a mano (esperemos que no haya errores), pero aquí Lo llamo un día, pruebo mathica y obtengo \ $ \ omega \ $ para la frecuencia de -3dB como:

$$ w \ to \ sqrt {\ frac {1} {A} - \ frac {B ^ {2}} {2A ^ {2}} + \ frac {\ sqrt {8A ^ {2} -4AB ^ {2} + B ^ {4}}} {2A ^ {2}}} $$

    
respondido por el HKOB
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Mucha gente confunde la frecuencia natural con la frecuencia de corte. La frecuencia natural es la frecuencia a la que el sistema quiere oscilar. La frecuencia de corte (o -3dB freq) es justo cuando la función de transferencia tiene una magnitud de 0.707

Si los dos polos del filtro no están muy juntos, los términos canónicos de segundo orden, como la frecuencia natural y el factor de amortiguación, comienzan a perder sentido práctico. Si los polos están juntos, la frecuencia natural tenderá a estar cerca de la frecuencia -3dB pero no exactamente.

La ecuación que sigues viendo $$ f_ {n} = \ dfrac {1} {(2 \ pi * \ sqrt {R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}})} $$

es para la frecuencia natural. Si resuelves el factor de amortiguación también verás que es $$ d = \ dfrac {\ dfrac {(C_ {1} R_ {1} + C_ {2} R_ {1} + C_ {2} R_ {2})} {2}} {\ sqrt {R_ {1} R_ {2} C_ {1} C_ {2}}} $$

Estás intentando definir en una ecuación la frecuencia -3dB , por lo que debes configurar la función de transferencia para que sea igual a -3dB y solo resolver la frecuencia resultante. El problema con eso es que las matemáticas se van a poner muy feas muy rápido. Miré esto una vez hace unos años y encontré esta relación. $$ f_ {c} = f_ {n} * \ sqrt {1-2d ^ 2 + \ sqrt {4d ^ 4-4d ^ 2 + 2}} $$

donde \ $ f_ {c} \ $ es la frecuencia \ $ - 3dB \ $.

Por ejemplo, si tomas:

\ $ \ begin {cases} R_1 = 10k \ Omega \\ R_2 = 40k \ Omega \\ C_1 = 0.1µF \\ C_2 = 0.01µF \ end {cases} \ $

Obtendrás los siguientes números:

\ $ \ begin {cases} f_n = 251.6Hz \\ d = 1.186 \\ f_c = 127.7Hz \ end {cases} \ $

También puedes encontrar los polos que son 458.8Hz y 138.02Hz , por lo que la frecuencia 3dB está muy cerca del primer polo. Descubrirá que si desliza el segundo polo más lejos y la frecuencia 3db estará bastante cerca del primer polo.

Espero que ayude.

    
respondido por el Patrick
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En mi opinión, esta frecuencia de "corte" no se define como el punto -3dB. La función de transferencia real es: $$ H (s) = \ frac {1} {s ^ 2R_1R_2C_1C_2 + s (R_1C_1 + R_1C_2 + R_2C_2) +1} $$

La 'forma común' de un elemento de segundo orden en la teoría de control es $$ W (s) = \ frac {1} {\ frac {s ^ 2} {\ omega_n ^ 2} +2 \ frac {\ xi } {\ omega_n} s + 1} $$, donde \ $ \ xi \ $ es el coeficiente de amortiguamiento y \ $ \ omega_n \ $ es la frecuencia natural. Si desea expresar la frecuencia natural de \ $ H (s) \ $, encontrará que es igual a \ $ \ frac {1} {\ sqrt {R_1R_2C_1C_2}} \ $.

Si bien la respuesta de HKOB realmente parece razonable incluso cuando se evalúa la función de transferencia correcta, MATLAB me mostró (utilizando diferentes valores arbitrarios de R y C) que la frecuencia calculada de "corte" no está ni siquiera cerca del punto de -3dB en el Bode parcelas.

    
respondido por el hryghr
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Resolver un circuito simple de segundo orden como este requiere algunas líneas obtenidas al inspeccionar el circuito. Así es como las Técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs descritas en "Funciones de transferencia lineal de circuitos: una introducción a FACTs" funcionan. Bien, comience con \ $ s = 0 \ $: elimine todas las mayúsculas. La ganancia de CD \ $ H_0 \ $ es 1. El denominador se obtiene al configurar la fuente de entrada \ $ V_ {in} \ $ a 0 V (reemplazarla por un cortocircuito). Luego, "mire" la resistencia ofrecida por el condensador \ $ C_1 \ $ cuando él y \ $ C_2 \ $ se eliminan temporalmente del circuito. Luego "observe" la resistencia ofrecida por el condensador \ $ C_2 \ $ cuando él y \ $ C_1 \ $ se eliminan temporalmente del circuito. Usted "ve" \ $ R_1 \ $ en el primer caso y la suma de \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $ en el segundo caso. Tienes las dos constantes de tiempo del circuito:

\ $ \ tau_1 = C_1R_1 \ $ y \ $ \ tau_2 = C_2 (R_1 + R_2) \ $

Luego, establezca \ $ C_1 \ $ en su estado de alta frecuencia (reemplácelo por un corto) y "observe" la resistencia ofrecida por \ $ C_2 \ $ en este modo. Usted "ve" \ $ R_2 \ $:

\ $ \ tau_ {12} = C_2R_2 \ $

Esto es, tienes tu denominador \ $ D (s) \ $ igual a

\ $ D (s) = 1 + s (\ tau_1 + \ tau_2) + s ^ 2 (\ tau_1 \ tau_ {12}) = 1 + s (R_1C_1 + C_2 (R_1 + R_2)) + s ^ 2C_1C_2R_1R_2 \ $

Si consideramos la baja - \ $ Q \ $ aproximación (\ $ Q \ $ es mucho menor que 1), entonces podemos mostrar que el denominador puede expresarse como dos polos en cascada:

\ $ \ omega_ {p1} = \ frac {1} {R_1C_1 + C_2 (R_1 + R_2)} \, \ omega_ {p2} = \ frac {R_1C_1 + C_2 (R_1 + R_2)} {C_1C_2R_1R_2} \ $

Si \ $ C_1 \ $ o \ $ C_2 \ $ están cortocircuitados individualmente o en conjunto, no hay respuesta de salida: este circuito no presenta ceros. La función de transferencia completa es por lo tanto

\ $ H (s) = \ frac {1} {1 + s (R_1C_1 + C_2 (R_1 + R_2)) + s ^ 2C_1C_2R_1R_2} \ approx \ frac {1} {(1+ \ frac {s} {\ omega_ {p1}}) (1+ \ frac {s} {\ omega_ {p2}})} \ $

Ahora suponga que prueba \ $ V_ {out} \ $ a través de \ $ C_1 \ $ dejando a \ $ R_2 \ $ y \ $ C_2 \ $ en su lugar, el denominador permanece igual (las constantes de tiempo no cambian) pero introduce un cero ubicado en \ $ \ frac {1} {R_2C_2} \ $.

Tales son las alegrías de los HECHOS: en algunos casos, solo inspeccionar el circuito (sin álgebra) es la forma más rápida de hacerlo. Echa un vistazo a esta presentación enseñada en APEC el año pasado enlace

    
respondido por el Verbal Kint

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