encontrando los valores sinusoidales de una corriente o voltaje complejo

La idea básica es que a cualquier cantidad sinusoidal \ $ x (t) \ $ con frecuencia angular \ $ \ omega \ $ puede asociar una cantidad compleja constante \ $ X \ $ para que $$ x (t) = \ operatorname {Re} [X \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ omega t}], \ qquad \ qquad (1) $$ donde \ $ \ operatorname {Re} \ $ denota la parte real de número complejo \ $ X \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ omega t} \ $. La cantidad \ $ X \ $ se denomina phasor asociado a \ $ x (t) \ $. Este tipo de representación también se denomina Steinmentz transform .

Otras representaciones son posibles, por ejemplo, el fasor asociado puede elegirse de modo que $$ x (t) = \ operatorname {Re} [\ sqrt {2} \, X \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j } \ omega t}], \ qquad \ qquad (2) $$ de esta manera el módulo \ $ | X | \ $ del número complejo \ $ X \ $ produce el valor de la raíz cuadrada media (RMS) de \ $ x (t) \ $. O puede elegir el fasor para que \ $ x (t) \ $ esté representado por las partes imaginarias $$ x (t) = \ operatorname {Im} [X \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ omega t}], \ qquad \ qquad (3) $$ o $$ x (t) = \ operatorname {Im} [\ sqrt {2} \, X \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ omega t }]. \ qquad \ qquad (4) $$

En el caso de sus ejemplos, con un poco de "ingeniería inversa", es fácil ver que su profesor eligió la representación (4).

Consideremos su último ejemplo con \ $ I = (-3 + 3 \ mathrm {j}) \, \ mathrm {A} \ $ (¡las cantidades complejas también tienen unidades!). La representación polar de \ $ I \ $ es $$ I = (-3 + 3 \ mathrm {j}) \, \ mathrm {A} = 3 \ sqrt {2} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j } \ frac {3 \ pi} {4}} \, \ mathrm {A}. $$ Por lo tanto, $$ i (t) = \ operatorname {Im} [\ sqrt {2} \, I \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ omega t}] = \ operatorname {Im} \ left [6 \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ left (\ omega t + \ frac {3 \ pi} {4} \ right)} \, \ mathrm {A} \ right], $$ y usando la fórmula de Euler $$ \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ alpha} = \ cos \ alpha + \ mathrm {j} \ sin \ alpha, $$ obtenemos $$ \ begin {align} i (t) & = \ operatorname {Im} \ left \ {6 \ left [\ cos \ left (\ omega t + \ frac {3 \ pi} {4} \ right) + \ mathrm {j} \ sin \ left (\ omega t + \ frac {3 \ pi} {4} \ right) \ right \\\ mathrm {A} \ right \}, \\ & = 6 \ sin \ left (\ omega t + \ frac {3 \ pi} {4} \ derecha) \, \ mathrm {A}. \ end {align} $$

La notación "big I" se llama "notación fasor", que es una notación abreviada que solo representa la fase y la magnitud de una señal, mientras se ignora su frecuencia. Utiliza coordenadas rectangulares, con un componente real y un componente imaginario. La forma general es

$$ I = Real + j \ cdot $$ imaginario

La notación "i (t)" es una representación directa de la misma señal en el dominio del tiempo, pero ahora la fase y la magnitud se dan utilizando coordenadas polares. La forma general es

$$ i (t) = A \ sin (\ omega t + \ theta) $$

donde A es la amplitud, ω es la frecuencia de radianes y θ es el ángulo de fase.

Puedes buscar conversiones de coordenadas "rectangular a polar" y "polar a rectangular" para convertir entre las dos notaciones.