Cuando analizamos circuitos eléctricos a menudo usamos funciones de transferencia. Para calcular los polos y ceros de tal función se puede hacer de diferentes maneras. Cuando buscamos una función de transferencia en el dominio de Laplace, parece que:
$$ \ text {H} _ {\ text {T}} \ left (\ text {s} \ right) = \ frac {\ text {Y} \ left (\ text {s} \ right)} {\ text {X} \ left (\ text {s} \ right)} $$
Ahora, si queremos establecerlo en el complejo dominio de frecuencia, sustituimos:
$$ \ text {s} = j \ omega $$
Donde $$ j ^ 2 = -1 $$.
Ahora lo sustituimos en la función de transferencia de dominio de Laplace:
$$ \ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) = \ frac {\ text {Y} \ left (j \ omega \ right)} {\ text { X} \ left (j \ omega \ right)} $$
Para calcular el (valor absoluto de los) polos y ceros de la función de transferencia original (en el dominio de Laplace) podemos resolver:
1. Cuando tenemos un condensador o inductor (llamado frecuencia de corte): $$ \ Re \ left [\ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) \ right] = \ Im \ left [\ text {H} _ {\ text {T} } \ left (j \ omega \ right] \ right] $$ 2. Cuando tenemos más capacitores o inductores o una combinación de estos dos (llamada frecuencia de resonancia): $$ \ Im \ left [\ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) \ right] = 0 $$
Pregunta: ¿Para qué funciones de transferencia tiene esta función, puede calcular los polos y ceros de la función de transferencia del dominio de Laplace, utilizando el dominio de frecuencia complejo como se indicó anteriormente? ¿Porque no funciona para todas las funciones de transferencia? ¿Y cómo podemos probar que solo es válido para algunas funciones de transferencia?
Circuitos donde funciona, por ejemplo, un circuito simple de la serie RC. Porque:
$$ \ text {H} _ {\ text {T}} \ left (\ text {s} \ right) = \ frac {\ frac {1} {\ text {RC}}} {\ text { s} + \ frac {1} {\ text {RC}}} $$
Y:
$$ \ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) = \ frac {\ frac {1} {\ text {RC}}} {j \ omega + \ frac {1} {\ text {RC}}} $$
Dan el mismo resultado (polos y ceros):
$$ \ left | \ text {s} \ right | = \ frac {1} {\ text {RC}} $$
Y:
$$ \ Re \ left [\ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) \ right] = \ Im \ left [\ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) \ right] \ space \ Longleftrightarrow \ space \ omega = \ frac {1} {\ text {RC}} $$
EDIT:
Cuando tengo un circuito RRL en serie, mi función de transferencia se ve así:
$$ \ text {H} _ {\ text {T}} \ left (\ text {s} \ right) = \ frac {\ text {R} _2 + \ text {s} \ text {L}} {\ text {R} _1 + \ text {R} _2 + \ text {s} \ text {L}} $$
Al encontrar los polos y ceros de esa función, obtengo mis diferentes valores para \ $ \ omega \ $ y luego, cuando resuelvo:
$$ \ Re \ left [\ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) \ right] = \ Im \ left [\ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) \ right] $$
Utilizando:
$$ \ text {H} _ {\ text {T}} \ left (j \ omega \ right) = \ frac {\ text {R} _2 + j \ omega \ text {L}} {\ text {R} _1 + \ text {R} _2 + j \ omega \ text {L}} $$